河海大学弹性力学徐芝纶版第四章ppt.

第一节极坐标中的平衡微分方程第二节极坐标中的几何方程及物理方程第三节极坐标中的应力函数与相容方程第四节应力分量的坐标变换式第五节轴对称应力和相应的位移第六节圆环或圆筒受均布压力第八节圆孔的孔口应力集中第九节半平面体在边界上受集中力第十节半平面体在边界上受分布力例题第七节压力隧洞区别:直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标(x,y)与极坐标比较：),(Pxyo坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用§4－1极坐标中的平衡微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体--由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。φdρdD两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x轴向y轴方向转动为正。φdφρdφρρdd注意：微分体上的作用力有：体力--，以坐标正向为正。应力--面，面分别表示应力及其增量。φρff,φρ作用力应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负。应用假定:（1）连续性，（2）小变形。,,0F,0F0DM。平衡条件：平衡条件考虑通过微分体形心D的向及矩的平衡，列出3个平衡条件:其中可取dcos1,2ddsin.22--通过形心D的向合力为0，0ρFρ()(d)dddd(d)dsindsin22dd(d)dcosdcosfdd0,22上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得10(a)f。式(a)中第1、第2、第4项与直角坐标的方向相似;0.(a)yxxxσfxy--是由于面面积大于面面积而引起的，ρρρσρρσφ--是由于面上的在D点的向有投影。式(a)中第3项与直角坐标的不同。Ddd()dcosdcos22(d)(d)dddd(d)dsindsindd0,22f略去三阶微量，保留到二阶微量，得210(b)f。--通过形心D的向合力为0，0φFφ0.(b)yxyyσfyx式(b)中第1、第2、第4项与直角坐标的方程相似。式(b)中第3项与直角坐标的方程不同。--是由于面的面积大于面引起的，ρφτρρ--是由于面上的切应力在D点的向有投影。ρτφρφρτ2D。(c)--通过形心D的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得0CM思考题1、试说明在导出上述平衡微分方程中，同样应用了连续性和小变形的基本假定，因而适用的条件也是这两个。2、试对微分体上的不同点列出平衡条件；或者考虑每一面上的应力为非均匀分布时列出平衡条件，证明式（4－1）在二阶微量的精度内总是相同的。几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。,dPA。dPB§4－2极坐标中的几何方程及物理方程过任一点作两个沿正标向的微分线段,ρ,φ1.只有径向位移，求形变。uP,A,B变形后为，各点的位移如图。B'A'P',,几何方程,1cos,PBPC,sintan。线应变PBPA线应变在小变形假定下，1β几何方程,ρuρdu)ρdρuu(PA'PPAAPAPAAPερρρρρ;ρuρdφφdρφd)u(ρPBPBCPPBPBBPερρφ此项表示，径向位移会引起环向线段的伸长。转角PA,0转角PB。φuρφρuφφuuPBBCCPBCβρρρ1d)d(所以切应变为。u1几何方程2.只有环向位移,求形变。φuP,A,B变形后为，各点的位移如图BAP，，几何方程线应变PA0，（略去高阶小量）.线应变PB;d)d(φuρ1φρuφφuuPBPBBPεφφφφ转角PA,ddρuρρρuPAADαφφ几何方程转角PB,,OPOP变形前切线变形后切线.uPOP）（使直角扩大，为负值切应变为。uu几何方程,,POOP变形后切线变形前切线此项表示，环向位移会引起的环向线段的转角（极坐标中才有）。3.当和同时存在时，几何方程为。uuuuuu1,1,(a)φuρu几何方程极坐标中的物理方程直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，ρφ故物理方程形式相似。物理方程极坐标中的物理方程也是代数方程,且与为正交，平面应力问题的物理方程：。EEE)1(2),(1),(1物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，,12EE。1边界条件--应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：,常数常数，或边界条件故边界条件形式简单。思考题1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一阶微量，略去了哪些更高阶的微量？2、试比较极坐标中和直角坐标中的基本方程和边界条件，有哪些相似之处和不同之处，为什么会有这些差别？以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：§4－3极坐标中的应力函数与相容方程1、物理量的转换;2、从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。函数的变换：将式或代入，坐标变量的变换：,cosx;siny反之,222yx。xyarctan(,)().ΦxyΦρ,φ(a)(b)1.从直角坐标系到极坐标系的变换)(a)(b坐标变换。cossin,sincosuuvuuu或。cossin,sincosvuuvuu(d)(c)矢量的变换：位移),,(),(φρuuvud坐标变换将对的导数，变换为对的导数：yx,ρ,φ,xφφΦxρρΦxΦ.yφφΦyρρΦyΦ可看成是，而又是的函数，即是通过中间变量，为的复合函数。),(yxΦΦ(ρ,φ)Φρ,φyx,Φρ,φyx,有:坐标变换导数的变换：而,cosx;siny,sinx。cosy代入，即得一阶导数的变换公式,(e)一阶导数)Φφρsinφρ(cosφφΦρsinρΦcosφΦx)Φφρcosφρ(sinφφΦρcosρΦsinφΦy，。二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出。例如.)φΦρsinφρΦ)(cosφφρsinφρ(cosφ)xΦ(xΦx22二阶导数注意：系数中也包含和，展开即得。φρ(f)。)11(2222222222yx)(g拉普拉斯算子的变换：由式（f）得二阶导数3.极坐标中应力用应力函数表示0,ΦΦ224(h)可考虑几种导出方法：2.极坐标中的相容方程)(ρ,φΦ(1)从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法）。相容方程应力公式。)11(2222222222yx其中：,)()(0φ220φxρyΦσσ(2)应用特殊关系式，即当x轴移动到与轴重合时，有:ρ(3)应用应力变换公式（下节）.sincossincossincossincos2222φφyxΦ2φxΦφyΦφφ2τφσφσσ22222xyyxρ应力公式(4)应用应力变换公式（下节），,sincos2sincos22φφτφσφσσρφφρx而φρΦρ1ρΦρ1φyΦ222x222222)cos(sinρΦσ,sincos)]([2φφΦρ1ρ代入式(f)，得出的公式。ρσ比较两式的的系数，便得出的公式。φφφφsincos,,sincos22ρφφρ,τ,σσ应力公式4.极坐标系中按应力函数求解，应满足：Φ(1)A内相容方程.04Φ(2)上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）。ss(3)多连体中的位移单值条件。按求解Φ应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。应力分量的坐标变换关系：§4－4应力分量的坐标变换式1、已知，求。xyyxτσσ,,ρφφρτσσ,,d,dcos,dsin,bcsabsacs设则由ρφρτσ,（含）的三角形微分体，厚度为1，如下图A，考虑其平衡条件。取出一个包含x面y(含)和面xyyxτσσ,,ρ0,Fsinsincoscosdsdsdsyx,0cossinsincosdsdsyxxy得22cossin2cossin.xyxy同理，由(a),0F22()cossin(cossin).yxxy(b)得,0F22sincos2cossin.xyxy(c)类似地取出包含x面,y面和面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，φ得应用相似的方法，可得到2、已知，求.,,xyyxτσσρφφρτσσ,,).sin(coscossin)(,cossin2cossin,cossin2sincos222222xyyx思考题1、试导出法线与轴夹角为的面上的应力分量表达式。2、试导出式(4-8)。x轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。轴对称应力（Axisymmetrialstresses）问题：§4－5轴对称应力和相应的位移ρ.0φρρφττ轴对称应力问题应力数值轴对称--仅为的函数，应力方向轴对称--,ddρΦρ1σρ,dd22ρΦσφ.0(a)0,)dddd(22Φρρ1ρ2其中),dd(dddddd22ρρρρ1ρρ1ρ2相应的应力函数，所以应力公式为：ρΦΦ（1）相容方程4dddd{[()]}0,(b)dddd11ΦΦρρρρρρρρ22lnln(c)ΦAρBρρCρD。相容方程成为常微分方程，积分4次得的通解，Φ的通解Φ22(12ln)2,(32ln)2,(d)0.ABCABC(2)应力通解：将式(c)代入式(a)，将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，,ρρερu;)(dφfρεuρρ(3)应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变也为轴对称。ρφφρ,γ,εε(4)求对应的位移：,φφρεφuρ1ρu,ρφφuρεφu()d)φφρ1uρεuφf(ρ。分开变量，两边均应等于同一常量F,,dddddFφφfφφfρρfρρf11,0ρφρρργφuφuφuρ1将代入第三式，φρ,uu由两个常微分方程，,d)(d)(11Fρρfρρf1();fρHρF,)d(d)(dFφφfφφf22d()()