电磁场与电磁波第四版第一章习题解答

一章习题解答1.1给定三个矢量A、B和C如下：23xyzAeee4yzBee52xzCee求：（1）Aa；（2）AB；（3）AB；（4）AB；（5）A在B上的分量；（6）AC；（7）()ABC和()ABC；（8）()ABC和()ABC。解（1）2222312314141412(3)xyzAxyzeeeAaeeeA（2）AB(23)(4)xyzyzeeeee6453xyzeee（3）AB(23)xyzeee(4)yzee－11（4）由cosAB11111417238ABAB，得1cosAB11()135.5238（5）A在B上的分量BAAcosAB1117ABB（6）AC123502xyzeee41310xyzeee（7）由于BC041502xyzeee8520xyzeeeAB123041xyzeee1014xyzeee所以()ABC(23)xyzeee(8520)42xyzeee()ABC(1014)xyzeee(52)42xzee（8）()ABC1014502xyzeee2405xyzeee()ABC1238520xyzeee554411xyzeee1.2三角形的三个顶点为1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P。（1）判断123PPP是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解（1）三个顶点1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为12yzree，243xyzreee，3625xyzreee则12214xzRrree，233228xyzRrreee，311367xyzRrreee由此可见1223(4)(28)0xzxyzRReeeee故123PPP为一直角三角形。（2）三角形的面积12231223111176917.13222SRRRR1.3求(3,1,4)P点到(2,2,3)P点的距离矢量R及R的方向。解34Pxyzreee，223Pxyzreee，则53PPPPxyzRrreee且PPR与x、y、z轴的夹角分别为115cos()cos()32.3135xPPxPPeRR113cos()cos()120.4735yPPyPPeRR111cos()cos()99.7335zPPzPPeRR1.4给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee，求它们之间的夹角和A在B上的分量。解A与B之间的夹角为1131cos()cos()1312977ABABABA在B上的分量为313.53277BABAB1.5给定两矢量234xyzAeee和64xyzBeee，求AB在xyzCeee上的分量。解AB234641xyzeee132210xyzeee所以AB在C上的分量为()CAB()2514.433ABCC1.6证明：如果ABAC和ABAC，则BC；解由ABAC，则有()()AABAAC，即()()()()ABAAABACAAAC由于ABAC，于是得到()()AABAAC故BC1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，pAX而PAX，p和P已知，试求X。解由PAX，有()()()()pAPAAXAXAAAXAAAX故得pAAPXAA1.8在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解（1）在直角坐标系中4cos(23)2x、4sin(23)23y、3z故该点的直角坐标为(2,23,3)。（2）在球坐标系中22435r、1tan(43)53.1、23120故该点的球坐标为(5,53.1,120)1.9用球坐标表示的场225rrEe，（1）求在直角坐标中点(3,4,5)处的E和xE；（2）求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量22xyzBeee构成的夹角。解（1）在直角坐标中点(3,4,5)处，2222(3)4(5)50r，故22512rrEe1332cos22052xxrxEeEE（2）在直角坐标中点(3,4,5)处，345xyzreee，所以233452525102xyzrreeerE故E与B构成的夹角为1119(102)cos()cos()153.632EBEBEB1.10球坐标中两个点111(,,)r和222(,,)r定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为121212coscoscossinsincos()解由111111111sincossinsincosxyzrrrReee222222222sincossinsincosxyzrrrReee得到1212cosRRRR1122112212sincossincossinsinsinsincoscos121211212sinsin(coscossinsin)coscos121212sinsincos()coscos1.11一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：(3sin)drSeS的值。解(3sin)d(3sin)drrrSSSeSee22200d3sin5sind751.12在由5r、0z和4z围成的圆柱形区域，对矢量22rzrzAee验证散度定理。解在圆柱坐标系中21()(2)32rrzrrrzA所以425000ddd(32)d1200zrrrA又2d(2)(ddd)rzrrzzSSrzSSSASeeeee42522000055dd24dd1200zrr故有d1200AdSAS1.13求（1）矢量22222324xyzxxyxyzAeee的散度；（2）求A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解（1）2222232222()()(24)2272xxyxyzxxyxyzxyzA（2）A对中心在原点的一个单位立方体的积分为12121222221212121d(2272)ddd24xxyxyzxyzA（3）A对此立方体表面的积分12121212221212121211d()dd()dd22SyzyzAS12121212222212121212112()dd2()dd22xxzxxz121212122232231212121211124()dd24()dd2224xyxyxyxy故有1d24AdSAS1.14计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求r对球体积的积分。解22300dddsind4rSSSaaarSre又在球坐标系中，221()3rrrrr，所以223000d3sinddd4arrar1.15求矢量22xyzxxyzAeee沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解222220000ddd2d0d8CxxxxyyAl又2222xyzxzyzxxyzxxyzeeeAee所以2200d(22)dd8xzzSyzxxyASeee故有d8CAldSAS1.16求矢量2xyxxyAee沿圆周222xya的线积分，再计算A对此圆面积的积分。解2dddCCxxxyyAl2424220(cossincossin)d4aaad()dyxzzSSAASxyASee2422200dsindd4aSaySrrr1.17证明：（1）3R；（2）R0；（3）()ARA。其中xyzxyzReee，A为一常矢量。解（1）3xyzxyzR（2）xyzxyzxyyeeeR0（3）设xxyyzzAAAAeee，则xyzAxAyAzAR，故()()()xxyzyxyzAxAyAzAxAyAzxyARee()zxyzAxAyAzzexxyyzzAAAeeeA1.18一径向矢量场()rfrFe表示，如果0F，那么函数()fr会有什么特点呢？解在圆柱坐标系中，由1d[()]0drfrrrF可得到()CfrrC为任意常数。在球坐标系中，由221d[()]0drfrrrF可得到2()Cfrr1.19给定矢量函数xyyxEee，试求从点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P的线积分dEl：（1）沿抛物线2xy；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？解（1）dddxyCCExEyElddCyxxy2221d(2)2dyyyy2216d14yy（2）连接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为2812xxyy即640xy故21dddd(64)(64)dxyCCExEyyyyyEl21(124)d14yy由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数2xyz的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345505050xyzeee定出；求(2,3,1)点的方向导数值。解222()()()xyzxyzxyzxyzxyzeee222xyzxyzxzxyeee故沿方向345505050lxyzeeee的方向导数为22645505050lxyzxzxyle点(2,3,1)处沿le的方向导数值为36166011250505050l1.21试采用与推导直角坐标中yxzAAAxyzA相似的方法推导圆柱坐标下的公式1()zrAArArrrzA。解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿re方向穿出该六面体的表面的通量为rrzoxyrzz题1.21图()ddddzzzzrrrrrrzzArrrArr[()(,,)(,,)]rrrrArrzrArzz()()1rrrArArzrrr同理ddddrrzzrrzzrzrzArzArz[(,,)(,,)]ArzArzrzAArzrddddrrrrzzzzzzrrArrArr[(,,)(,,)]zzArzzArzrrzzzAArrzzz