电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答

第六章时变电磁场6.1有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cosmTzetB之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos)mxt确定，轨道终端接有电阻0.2R，试求电流i.R0.2m0.7madbcixy题6.1图解穿过导体回路abcda的磁通为5cos0.2(0.7)cos[0.70.35(1cos)]0.35cos(1cos)zzdBadabtxttttBSee故感应电流为110.35sin(12cos)1.75sin(12cos)mAindiRRdtttttRE6.2一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0zBBe中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为00zrrrBEvBeeBe故介质棒内的极化强度为00000(1)()errrrBrBPEeeX极化电荷体密度为2000011()()2()PrPrBrrrrBP极化电荷面密度为0000()()PrrraeraBPnBe则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()PPPSPQaaBQaaB6.3平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2am、0.1mbcd、71.0cos(210)Ait，求回路中的感应电动势。iibdca题6.3图解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为ddddddindSBSBStt左右BE式中00,22()iiBBrbcdr左右故0000ddln()22ddln()2()2bcbscddsiaibcBSarrbiaibcBSarbcdrb左右则072207777d2ln()d2dln()[1.0cos(210)]d4100.2ln2sin(210)2103.484sin(210)inaibctbabctabbttVtVE6.4有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为lRS而环形线圈的电感为L，故电压方程为ddiURiLt当U=U0时，电流i也为直流，d0dit。故0llURiJSJlES此时导线内的切向电场为0UEl当U=U（t）时，d()0ditt，故d()d()()()(())ddd()()ditUtRitLREtSLEtSttlEtEtSLSSt即d()()()dEtlEtUttLSLS求解此微分方程就可得到()tE。6.5一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为0sinUt，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即0sinln()rUtrbaEe故电容器两极板间的位移电流密度为0cosln()drUttrbaDJe则2000cosdddln()lddrrsUtirzrbaJSee002coscosln()lUtCUtba式中，2ln()lCba是长为l的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为0dcosdcUiCCUtt可见dcii6.6由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程0E和D由D得ddD据散度定理，上式即为dsqDS利用球对称性，得24rqrDe故得点电荷的电场表示式24rqrEe由于0E，可取E，则得2DE即得泊松方程26.7试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。解（1）在直角坐标中yxzxyxzyyxzzHDHJyztDHHJzxtHHDJxytyxzyxzyxzEHEyztHEEzxtEEHxyt0yxzyxzBBBxyzDDDxyz（2）在圆柱坐标中111()zrrrzrzzHHDJrztDHHJzrtHDrHJrrrt111()zrrzrzEEHrztHEEzrtEHrErrrt11()011()zrzrBBrBrrrzDDrDrrrz（3）在球坐标系中1[(sin)]sin11[()]sin1[()]rrrrHDHJrtDHrHJrrtDHrHJrrt1[(sin)]sin11[()]sin1[()]rrrEHErtHErErrtHErErrt2222111()(sin)0sinsin111()(sin)sinsinrrBrBBrrrrDrDDrrrr6.8已知在空气中90.1sin10cos(610)yxtzEe，求H和。提示：将E代入直角坐标中的波方程，可求得。解电场E应满足波动方程220020tEE将已知的yyEEe代入方程，得222002220yyyEEExzt式中229222922929000020.1(10)sin10cos(610)0.1sin10[cos(610)]0.1sin10[(610)cos(610)]yyyExtzxExtzzExtzt故得229200(10)(610)0则30054.41rad/m由0tHE得0090911[]1[0.1sin10sin(610)0.110cos10cos(610)]yyxzxzEEtzxxtzxtzHEeeee将上式对时间t积分，得990949491[0.1sin10cos(610]610cos10sin(610)2.310sin10cos(61054.41)1.3310cos10sin(61054.41)A/mxzxzxtzxtzxtzxtzΗeeee6.9已知自由空间中球面波的电场为0sincos()EtkrrΕe求H和k。解可以和前题一样将E代入波动方程来确定k，也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定k的值。两种方法本质上是一样的。由0tHE得00000011()1[sincos()]sinsin()rEtrrEtkrrrkEtkrreHEee将上式对时间t积分，得00sincos()kEtkrrHe（1）将式（1）代入0tEH得0201111[(sin)(sin)]sinsinrtrHrHrrrEHee20020002sin1cos()sin()rkEkEtkrtkrrree将上式对时间t积分，得20022200021sin()sincos()rkEkEtkrtkrrrEee（2）将已知的0sincos()EtkrrEe与式（2）比较，可得含21r项的Er分量应略去，且200k，即00k将00k代入式（1），得0000000sincos()sincos()EtkrrEtkrrHeeA6.10试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克斯韦方程。解注意到非均匀媒质的参数,是空间坐标的函数，因此211()()11BHBBBB而()tttDEEJJJ因此，麦克斯韦第一方程tDHJ变为1tEBJB又()DEEE故麦克斯韦第四方程D变为1EE则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为11ttEBJBBEBEE6.11写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解空气和理想导体分界面的边界条件为0snEnHJ根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式smsEHHEJJ即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件0msnHnEJ式中，Jms为表面磁流密度。6.12提出推导1snHJ的详细步骤。解如题6.12图所示，设第2区为理想导体（2）。在分界面上取闭合路径,,0abcdaabcdlbcdah。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得20ddddlim(dd)bcdaabcdChSSdtHlHlHlHlHlDHlHlJSS（1）因为tD为有限值，故上式中0limd0hStDS而(1)式中的另一项0limdhSJS为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有0limdshSJSJNl因()llNn故式（1）可表示为12()()sllHHNnJN（2）adbcnlhH2H1题6.12图应用矢量运算公式()()ABCCAB，式（2）变为12[]snHHNJN故得12()snHHJ（3）由于理想导体的电导率2，故必有220,0EH，故式（3）变为1snHJ6.13在由理想导电壁（）限定的区域0xa内存在一个由以下各式表示的电磁场：000()sin()sin()()sin()sin()cos()cos()yxzaxEHkztaaxHHkkztaxHHkzta这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？解如题6.13图所示，应用理想导体的边界条件可以得出在x=0处，0,0yxEH0cos()zHHkzt在x=a处，0,0yxEH0cos()zHHkzt上述结果表