电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第6章

1第六章电磁感应6-1一个半径为a的导体圆盘位于均匀恒定磁场0B中，恒定磁场0B的方向垂直于圆盘平面，若该圆盘以角速度绕其轴线旋转，求圆盘中心与边缘之间的电压。解将导体圆盘分割为很多扇形条，其半径为a，弧长为da。当导体圆盘旋转时，扇形条切割磁力线产生的电动势等于圆盘中心与边缘之间的电压。根据书中式（6-1-11），在离圆盘中心为r，长度为rd的线元中产生的电动势为0ddBvlerrBd0因此，圆盘中心与边缘之间的电压为200021daBrrBea6-2一个面积为ba的矩形线圈位于双导线之间，位置如习题图6-2所示。两导线中电流方向始终相反，其变化规律为A)102sin(10921tII，试求线圈中感应电动势。习题图6-2解建立的坐标如图6-2所示。在cbxc内，两导线产生的磁感应强度为xdcbIxIzz222010eeΒ则穿过回路的磁通量为XI2xacdbdxds0YI102sΒsmdxaxdcbxIzcbczd11210eecddbcbaIln210则线圈中的感应电动势为temddtIcddbcbaddln210V10ln102cos1090cddbcbta6-3设带有滑条AB的两根平行导线的终端并联电阻2.0R，导线间距为0.2m，如习题图6-3所示。若正弦电磁场tBzsin5e垂直穿过该回路，当滑条AB的位置以m)cos1(35.0tx规律变化时，试求回路中的感应电流。解建立的坐标如图6-3所示。令并联电阻位于0x处，在t时刻回路的磁通量为sΒsmdszzyxtddsin5eeWbsincos135.0ttoRBxyBA0.2m习题图6-33那么，回路中的感应电动势为temddtttdsincos1d35.0Vcos2cos35.0tt因此回路中的感应电流为ReI2.0cos2cos35.0ttAcos2cos75.1tt6-4一个面积为ba的矩形导线框位于磁场yyBBe中，如习题图6-4所示。若线框以角速度绕其轴匀速旋转，在0t时刻框平面与0y平面重合，试求当0BBy和tBBycos0时线框中的感应电动势。解当0BBy时，磁场为恒定磁场，穿过线框的磁通量为sΒsmd1220dcosaaxtbByyeetabBcos0则线框中的感应电动势为tabBtemsindd011当tBBycos0时，同理可得穿过线框的磁通量为tabBmcos202那么，线框中的感应电动势为ttabBtemcossin2dd022aZYXBb0习题图6-446-5两个半径均为a的圆环导线沿Z轴同轴地放置，如习题图6-5所示。若线圈A中通过恒定电流I，线圈B以速度v向正Z方向运动，且间距ad，试证线圈B中的感应电动势为44023dvIae习题图6-5解线圈A在线圈B处产生的磁感应强度为sincos24320eeΒrrIa因为ad，可以认为线圈B处于0位置，则线圈B内的磁感应强度为rrIaeΒ3202穿过线圈B的磁通量为sΒsmdddsin22320rrIarsree2322402zaIa则线圈B中的感应电动势为dzdzmtzaIatedd2dd252240tzdaIadd23252240由于vtzdd，那么25224023daIdvae考虑到ad，求得44023dIvaezA0BadaI56-6已知双导线中的电流21II，导线半径a远小于间距d，计算单位长度内双导线的内电感与外电感。解建立直角坐标，且令一根导线位于x=0处。在双导线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路，该回路方向与正y方向构成右旋关系，如习题图6-6（a）所示。令zIIe1，zIIe2那么，两个电流在两导线间产生的磁感应强度为xdIxIo220021yyeeBBB该磁场形成的外磁通为xxdxIadasomod112d0yyeesΒaadIln0由于此时磁通链等于磁通，即mo，故外电感为ILoaadln0如习题图6-6（b）所示，导体内的磁感应强度为202aIrBi该磁场形成的内磁通链为raIrid2d430习题图6-6（a）axI2I1XYa01B2B×dxyr0odrr习题图6-6（b）a6即8d00Iaii故内电感为ILii806-7若无限长直导线与半径为a的圆环导线平行放置，电流方向如习题图6-7所示。计算直导线与圆环之间的互感。解建立的直角坐标如图6-7所示，令长直导线位于z轴。那么，无限长z向电流在0x平面内+y轴一侧产生的磁感应强度为yI2101xeBB1产生的磁通与线圈电流2I交链的磁通链21为sBd2121sadadyyydaId2210dI10因此，直导线与线圈之间的互感为dI012121可见，21为负，这是因为2I产生的磁通方向与互磁通方向相反导致的。6-8若无限长直导线与边长为a的等边三角形线框平行放置，电流方向如习题图6-8所示。计算直导线与三角形线框xyI1I2adzydy习题图6-7I1adI2aaydyzxy习题图6-87之间的互感。解建立的直角坐标如图6-8所示，令长直导线位于z轴。那么，无限长z向电流在0x平面内y0区域中产生的磁感应强度为yI2101xeBB1产生的磁通与线框电流2I交链的磁通链21为sBd2121sydyyId6tan2210xxeeadaddI2332ln3310因此，直导线与线框之间的互感为12121Iadadd2332ln3306-9已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内外半径分别为b及c，内外导体之间为空气，当通过恒定电流I时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。解由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为raIB2012ar那么，内导体单位长度内的磁场能量为VBWVmd2112101202020016d2221IrraIra在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为rIB202bra82mWabIrrrIbaln4d222120200在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为2222032bcrcrIBrrbcrcrIWcbmd222122222003rrrcrcbcIcbd24324222202222422220341ln4bcbcbccbcI因此，同轴线单位长度内的磁场能量为321mmmm22222224203ln4ln4116bcbcbcbccabI那么，单位长度的自感22222224023ln4ln4182bcbcbcbccabIWLm6-10已知某区域内均匀电场0EzeE，均匀磁场0BxeB，若速度0vyev的电子进入该区域时，试求电子的运动轨迹。解设电子电荷为q，从原点进入该区域，则受到的力为BvEFq00BvvvEqxzzyyxxzeeeeezyyzvBvBEq000ee由牛顿第二定律aFm，得tvmmaFzzzdd即00ddEvBqtvmyz（6-10-1）9同理可得zyvqBtvm0dd（6-10-2）将式（6-10-1）对时间微分，并将式（6-10-2）代人，得0dd2022zzvmeBtv令202meB，则0dd222zzvtv方程的解为tDtCvzsincos代入式（6-10-1）后，得tDtCBEvycossin00已知00|vvyte，得000,0BEvDC因此tBEvvzsin000（6-10-3）tBEvBEvycos00000（6-10-4）将式（6-10-3）及式（6-10-4）对时间t积分，求得t时刻电子的位置tBEvtBEysin100000tBEvzcos11000联合上面两式，消去tsin和tcos，即可求得电子运动轨迹方程。若B很弱，则很小，将tsin和tcos按级数展开，并取前二项得61300000ttBEvtBEy（6-10-5）10212000tBEvz（6-10-6）从式（6-10-5）和（6-10-6）中消去t，即得电子轨迹方程0000023EvBzBzvy6-11已知两根平行导线中电流分别为A101I，A152I，线间距离cm10d，试求当电流1I与2I同向及反向时，单位长度导线之间的作用力。解建立的直角坐标如图6-11所示，令电流1I位于z轴。那么，电流1I在0x平面内y0区域中产生的磁感应强度为yIx2101eB当1I和2I方向相同时，电流2I上的电流元zIzd2e受到磁场B1的作用力为zyIIId2dd21012yeBlF则单位长度电流②受到磁场B1的力为N1032d2421010210yyydIIzdIIeeeF可见，当电流同向时，单位长度导线间的作用力为吸力。当电流1I和2I反向时，同理可以求出单位线电流2I受到磁场B1的力为⊙zyI1I2xd习题图6-1111N1032d2421010210yyydIIzdIIeeeF可见，当电流同向时，单位长度导线间的作用力为斥力。6-12若宽度为w的无限长带状电流与无限长线电流平行放置，如习题图6-12所示。若带状电流密度0SzSJeJ，线电流为I，试求两者之间的作用力。解已知无限长线电流产生的磁感应强度为rI20eB将无限长的带状电流分为很多宽度为dx，长度为无限长的条形电流，这些条形电流强度为JS0dx。那么，根据题6-11结果，线电流I对位于x处的反向条形电流的斥力为dxdxxIJxsyeeF22002dd由对称关系可知，x方向上的合力为零。那么，两者之间的作用力为xdxdIJFwwsyd222220012dwdIJs2arctan00即dwdIJFsyy2arctan0012yeeF6-13已知半径为a的圆环与半径为b的圆环平行同轴地沿x轴放置，a/2I1aI2xbIJszyxwdo习题图6-1212电流方向如习题图6-13所示。若ba，试证两圆环间的作用力为522210524abIIxeF习题图6-13证明利用虚位移方法。已知磁场能量密度为22112121IIwm又知2121111IMIL；1212222IMIL，且MMM2112则MIILILIwm21222211212121取广义坐标l为间距x，因自感与x无关，并且电流1I和2I不变，因此相互作用力为xMIIF21当ba时，可以认为线圈①在线圈②中产生的磁通是均匀的。又因两个线圈的电