电磁感应现象中的杆+导轨模型专题教案

第1页电磁感应现象中的“杆+导轨”模型专题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有：1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等；（2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合；（3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻；（4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R1=4Ω、R2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC的形状满足方程y=2sin（3x）（单位：m）．磁感强度B=0.2T的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速率v=5.0m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率；（3）在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F的表达式及电流I与时间t的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．第2页（1）金属棒匀速运动F外=F安，当安培力为最大值时，外力有最大值．又∵E=BLv总REI∴F安=BIL=总RvLB22即当L取最大值时，安培力有最大值∵Lmax=22sin=2（m）38R2121RRRR总（Ω）∴总RvLBF2max2max代入数据得Fmax=0.3（N）（2）R1、R2相并联，由电阻丝R1上的功率121REP，可知当maxLL时P1有最大功率，即140.522.0222122max212maxmaxRvLBREP（W）（3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化L=2sin（3x）（m）且x=vt，E=BLv∴I=总总RBLvRE=43sin（35t）（A）2．金属棒（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；（2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动；（4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题．3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化．（2）磁场的分布：有界或无界．图1第3页二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBSntnE)(，有下列四个模型转换：1．B变化，S不变（1）B均匀变化①B随时间均匀变化如果B随时间均匀变化，则可以写出B关于时间t的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B随位置均匀变化B随位置均匀变化的解题方法类似于B随时间均匀变化的情形．（2）B非均匀变化B非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed构成一个边长为l的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B0．（1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k的物理意义，写出可与atvvt0相对照的B的表达式ktBB0；第（3）问中B、S均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k，得ktB∵感应电动势2SkltBtE××××d××××××××ab图2eB0cf第4页∴感应电流rklrEI2由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab上的电流方向为b→a．（2）t=t1时，B=B0+kt1又∵F=BIl∴rklktBF310)(（3）∵棒中不产生感应电流∴回路中总磁通量不变∴Bl（l+vt）=B0l2得vtllBB02．B不变，S变化（1）金属棒运动导致S变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为BLvE，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=0.2m，在导轨的一端接有阻值为R=0.5Ω的电阻，在x≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B=0.5T．一质量为m=0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v0=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v0取不同值，求开始时F的方向与初速度v0取值的关系．解析：杆在水平外力F和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv，感应电流I=RBlvREmav0××××××××B图3××××××××RxOl第5页∴I=0时v=0∴x=av220=1（m）（2）当杆的速度取最大速度v0时，杆上有最大电流Im=RBlv0RBlvIIm22'0安培力F安=BI’l=RvlB2022=0.02（N）向右运动时F+F安=ma，得F=ma-F安=0.18（N），方向与x轴相反向左运动时F-F安=ma，得F=ma+F安=0.22（N），方向与x轴相反（3）开始时v=v0，F安=BIml=RvlB022F+F安=ma，F=ma-F安=ma-RvlB022∴当v022lBmaR=10m/s时，F0，方向与x轴相反当v022lBmaR=10m/s时，F0，方向与x轴相同（2）导轨变形导致S变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4]（2001·上海·22）如图4所示，半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B＝0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a＝0.4m，b＝0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R0＝2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v0＝5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO’的瞬时（如图所示），MN中的电动势和流过灯L1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN将右面的半圆环OL2O’以OO’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为4tB（T/s），求L1的功率．解析：（1）当棒滑过圆环直径OO’的瞬时，棒的有效长度为2a，灯L1、L2是并联的．E1＝B2av＝0.2×0.8×5＝0.8（V）图4第6页4.028.011REI（A）（2）将右面的半圆环OL2O’以OO’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B随时间是均匀变化的，注意此时灯L1、L2是串联的．32.0222atBtE（V）REP221)2(＝1.28×102（W）另外还可在S不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等．3.“双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨EF，PQ水平放置，质量为m电阻为R的相同金属棒ab，cd与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。现用恒力F作用于ab棒上，使它向右运动。则A．安培力对cd做正功使它向右加速运动B．外力F做的功等于克服ab棒上安培力的功C．外力作的功等于回路产生的总热量和系统的动能D．回路电动势先增后减两棒共速时为零解析：开始时ab棒在外力F作用下向右切割磁感线产生电磁感应，ab棒相当于电源，由右手定则，b端电势较低，a端电势高，形成由b→a→c→d→b逆时转电流。电流通过ab和cd棒，由左手定则，ab棒安培力向左，做负功，阻碍速度1v增加；cd棒安培力向右，做正功，使cd棒动能增加速度2v增大。外力除克服ab棒上安培力做功外，还要对cd棒做正功。故A对B错。由于外力和安培力的作用，开始时ab棒加速度大于cd棒，两者速度差增大，回路感应电动势)(21vvBlE增大，感应电流增大，使ab加速度减小，cd加速度增大，当两棒加速度相等时速度差最大，回路感应电动势最大。以后ab和cd棒在外力F作用下以相同加速度运动，速度差恒定不可能共速，电动势恒定不会等于零，故D错。根据能量守恒整个过程外力做的功等于回路产生的总热量和系统的动能，C项正确。所以正确选项为A、C。题后：电磁感应中的金属棒导轨问题，可以用力学中滑块A在滑板B上运动作为物理模型。滑板B与地面光滑接触，摩擦力分别对A、B做负功和正功,使部分机械能转化为内能，相当于双金属棒情景。若B固定于地面，则类似单金属棒。摩擦力做的总功等于系统内能增量，相当于安培力做功的情景。[例6]如图6相距为L的两光滑平行导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的右端接有电阻R（轨道电阻不计），斜面处在一匀强磁场B中，磁场方向垂直于斜面向上，质量为m，电阻为2R的金属棒ab图5ⅹⅹⅹⅹⅹⅹⅹⅹEFPQdbca→F第7页放在导轨上，与导轨接触良好，由静止释放，下滑距离S后速度最大，则A．下滑过程电阻R消耗的最大功率为RLBSingm22222；B．下滑过程电阻R消耗的最大功率为RLBSingm222223；C．下滑过程安培力做功24422329RLBSingm；D．下滑过程安培力做功SinmgS24422329RLBSingm。解析：ab棒下滑过程受重力，轨道支持力和安培力作用。加速度a=0时速度最大，感应电动势最大，电路中电流最大，电阻消耗热功率最大。当a=0，有mgsinθ=BIL=mvRLB322，22sin3LBmgRvm。∴BLmgvRBLREImsin3总；回路总功率RLBgmRIP222222sin3总总，电阻消耗功率总PRLgmRIPR31Bsin222222。所以A答案正确，B为回路总功率。在下滑过程中