电磁感应综合问题的分析方法

电磁感应综合问题的分析方法主讲：湖北省黄冈中学特级教师徐辉（一）电磁感应中的力学问题的分析方法电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类电磁感应中的力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律，如楞次定律、法拉第电磁感应定律，左右手定则、安培力的计算公式等；还要应用力学中的有关规律、机械能守恒定律等．要将电磁学和力学的知识综合起来应用．例1、如图所示，位于水平面内的两条平行导轨相距l=30m；电源电动势ε=6V，内阻不计，R=5Ω；金属棒ab置于导轨上，且与导轨垂直；整个装置放在图示方向的匀强磁场中，当闭合K后金属棒运动时所受摩擦阻力f=0.1N，求ab棒的最大速度vmax和vmax对应的磁应强度B（金属棒和导轨的电阻不计）．解析：合上K后棒中电流由a到b，棒受到向左的磁场力做加速运动，因切割磁感线棒中产生由b向a的感应电动势．当棒的速度为v时，所受磁场力为根据牛顿第二定律有：.随着速度v的增大，加速度a减小，当a减为零时，速度达最大值，上式变为解得：B有实数时，，解得可见的最大值为：对应的磁感应强度为：例2、如图所示，abcde和a′b′c′d′e′为两平行的光滑导轨，其中abcd和a′b′c′d′部分为处于水平面内的直轨，ab与a′b′的间距为cd与c′d′间距的2倍，de、d′e′部分与直轨相切的半径均为R的半圆形轨道．且处于竖直平面内．直轨部分处于竖直向上的匀强磁场中，弯轨部分处于匀强磁场外．在靠近aa′和cc′处分别放着两根金属棒MN、PQ，质量分别为2m和m为使棒PQ能沿导轨运动，且通过半圆形轨道的最高点ee′，在初始位置必须至少给棒MN以多大的冲量（设两段水平直轨均足够长，PQ出磁场时MN仍在宽轨道上运动．）解析：若棒PQ通过半圆形轨道最高点ee′，则由可得其在最高点时的速度棒PQ在半圆形轨道上运动时机械能守恒，设其在dd′时的速度为vd，由可得两棒在直轨上运动的开始阶段，由于回路上存在感应电流，受安培力作用，棒MN速度减小，棒PQ速度增大．当棒MN的速度v1和棒PQ的速度v2达到时，回路中磁通量不再变化而无感应电流，两都便做匀速运动，因而在有感应电流存在时的每一瞬间，由F=IBL及MN为PQ长度的2倍可知，棒MN和PQ所受安培力F1和F2有关系设棒MN的初速度为v0，在时间t内分别对两棒应用动量定理，有：将以上两式相除，考虑到，并将v1、v2的表达式代入．可得：从而，至少应给棒MN的冲量本例综合应用了电磁感应和圆周运动、机械能守恒和动量定理等多方知识．解答此类问题是提高综合应用知识能力的有效措施．（二）电磁感应中电路问题的分析方法在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源．将它们接上电容器，便可使电容器充电；将它们接上电阻等用电器，便可对用电器供电，在回路中形成电流．因此，电磁感应问题又往往跟电路问题联系在一起，解决这类电磁感应中的电路问题，不仅要应用电磁学中的有关规律，如右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等；还要应用电路中的有关规律，如欧姆定律、串并联电路的性质等．要将电磁学和电路的知识甚至和力学知识综合起来应用．例3、如图，两个电阻器的阻值分别为R与2R，其余电阻不计，电容器电容量为C．匀强磁场磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里．金属棒ab、cd的长度均为l．当棒ab以速度v，向左切割磁感线运动，金属棒cd以速度2v向右切割磁感线运动时，电容C的电量为多大？哪一个极板带正电？解析：金属棒ab以速度v向左切割磁感线运动，产生的感应电动势，形成沿abfea方向的电流，电流强度为：R两端电压为：金屑棒cd以速度2v向右切割磁感线运动时，产生的感应电动势，且c点电势高．由于cd所在回路不闭合，所以因为d、f两点等电势，所以：且c点电势高，从而，电容器C上的带电量为：右侧极板带正电．（三）电磁感应现象中能量转化问题的分析方法导体切割磁感线或磁通量发生变化而在回路中产生感应电流，机械能或其它形式的能量便转化为电能；感应电流在磁场中受到安培力的作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或电阻的内能等；因此，电磁感应的过程总是伴随着能量转化的过程．对于某些电磁感应问题，我们可以从能量转化的观点出发，运用能量转化和守恒定律，运用功能关系分析解决．例4、一电阻为R1的匀质光滑金属环竖直放置．一根电阻为r、长为l的轻质金属杆可绕环中心O无摩擦地转动，两端各固定一个金属球并套在环上可沿环滑动．球的质量分别为M、m，且Mm．Oa为一导线．连结金属杆O点和金属环a点并沿水平方向，电阻为R2、把杆从水平位置由静止释放，杆转至竖直位置时的角速度ω，如图（1）所示．试求：①杆转至竖直位置时，回路中电流的即时功率．②杆从水平位置转至竖直位置的过程中，回路产生的焦耳热．解析：①杆转至竖直位置时，根据电路的对称性可知两球电势相等，左半环中无电流，等效电路如图（2）所示．从而所以②由能量守恒可得：而，所以（四）电磁感应现象中的图象问题的分析方法电磁感应中常涉及感应强度B、磁通量Ф、感应电动势ε和感应电流I随时间t变化的图象，即B—t图象、Ф—t图象、ε—t图象和I—t图象．对于切割产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势ε和感应电流I随线圈位移x变化的图象，即ε—x图象和I—x图象．这些图象问题大体上可分为两类：由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象，或由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．不管是何种类型，电磁感应中的图象问题常需利用右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等规律分析解决．例5、如图所示，一个边长为a、电阻为R的等边三角线框，在外力作用下以速度v匀速地穿过宽度均为a的两个匀强磁场，这两个磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直．取逆时针方向的电流为正，试通过计算，画出从图示位置开始，线框中产生的感应电流I与沿运动方向的位移x之间的函数图象．解析：线框进入第一个磁场时，切割磁感线的有效长度在均匀变化．在位移由0到过程中，切割有效长度由0增到在位移由到a过程中，切割有效长度由减到0、在时，电流为正．线框穿越两磁场边界时，线框在两磁场中切割磁感线产生的感应电动势相等且同向，切割的有效长度也在均匀变化．在位移由a到过程中，切割有效长度由0增到；在位移由到2a过程中，切割有效长度由减到0、在a=时，电流为负．线框移出第二个磁场时的情况与进入第—个磁场相似．可见，所求I—x图象应如图所示．例6、如图（1）所示，截面积为0.2m2的100匝圆形线圈A处在变化磁场中，磁场方向垂直线圈截面，其磁感应强度B随时间t的变化规律如图（2）所示．设向外为B的正方向，线圈A上的箭头为感应电流I的正方向，R1=4Ω，R2=6Ω，C=30μF，线圈内阻不计．求电容器充电时的电压和2s后电容器放电的电量．图（1）图（2）解析：由题给B—t图象可知，在0～1s内，B为负值，表示其方向向里，B在逐渐减小，由楞决定律可知线圈中将产生顺时针方向的感应电动势；在1～2s内，B为正值，表示其方向向外，B在逐渐增大，同样由楞次定律可知线圈中仍将产生顺时针方向的感应电动势．在0～2s内，线圈A与电阻R1、R2组成闭合回路，回路中有感应电流，此时，电容器C处于充电状态．由题给B—t图象，可知磁感应强度的变化率为：线圈A中的感应电动势为：.通过R2的电流强度为电容器C上的电压即为R2两端的电压．所以：2s后磁场消失（B=0），电容器通过电阻和线圈放电；放电的电量即为充电后电容器上的带电量，所以.（五）感应电动势大小的计算1、平动切割磁感线类型（1）计算公式：（2）说明：①上式仅适用于导体各点以相同速度在匀强磁场中切割磁感线的情况，并且必须l、v与B两两垂直．②若直线导线与v、B不两两垂直，则应取l、v、B互相垂直的分量．可见，当l、v、B两两垂直时，感应电动势最大；当l、v、B中任意两个量的方向相互平行时，感应电动势为零．③若导线是曲折的，则l应是导线的有效切割长度．即是导线两端点在v、B所决定平面的垂线上的投影间的长度．④公式若v为一段时间内的平均值，则ε亦为该段时间内的平均值；若v为即时值，则ε亦为相应的瞬时值．例7、如图所示，垂直纸面向外的磁场强弱沿y方向不变，沿x方向均匀增加，变化率为1T/m．有一长l=0.2m、宽0.1m的矩形金属框以2m/s的速度沿x方向匀速运动，则金属框中的感应电动势多大？若金属框电阻为0.02Ω，为保持金属框匀速运动．需加多大的外力？解析：由于金属框的ad、bc两边切割磁感线，产生方向相反的感应电动势，所以框中总的感应电动势为：框中电流沿顺时针方向，bc边受向左的安培力边受向右的安培力所以整个线框受培力，方向向左．为保持金属框匀速运动，需加0.04N的外力，方向向右．2、磁通量发生变化类型（1）计算公式：（2）说明：①上式适用于回路磁通量发生变化的情况，回路不一定要闭合．②△不能决定ε的大小，才能决定ε的大小，而与△之间无大小上的必然联系．③当△仅由B的变化而引起时，则．当△仅由S的变化引起时，则.④公式，若△t取一段时间，则ε为△t这段时间内的平均值．当磁通量的变化不是随时间线性变化时，平均电动势一般不等于初态与末态电动势的算术平均值．若△t趋近于零，则ε为瞬时值．例8、如图所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆内有垂直于圆平面的匀强磁场，磁感应强度为B．一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑动到右端，电路的固定电阻为R，其余电阻忽略不计，试求NM从圆环的左端滑到右端的过程中电阻R上的电流强度的平均值及通过的电量.解析：本例粗看起来是MN在切割磁力线，属于“切割”类型，可用“切割式”求解，但MN的有效切割长度在不断变化，用“切割式”难以求得平均感应电动势．事实上，回路中的磁通量在不断变化，平均感应电动势可由磁通量变化式求得．由于，完成这一变化所用的时间为故所以电阻R上的电流强度平均值为通过R的电量为：说明：若题中不要求感应电流的平均值．则通过导线横截面的电量可由求得．一般地，对于n匝线圈的闭合回路，由于磁通量的变化而通过导线横截面的电量3、转动切割磁感线类型（1）导线转动切割磁力线产生的感应电动势．此类问题通常可采用以下两种方法：①运用公式计算．式中l为导线转动切割磁力线的有效长度，是导线上各点切割速度的平均值，l、、B也应取互相垂直的分量．②运用公式计算，式中△是导线在△t时间内切割的磁感线的条数．（2）线圈在匀强磁场中转动产生的感应电动势①计算方法：线圈在磁场中转动产生的感应电动势可用公式计算．②几点说明：上式仅适用于线圈的转轴与线圈平面平行且与磁场垂直的情况，与线圈的形状及转轴相对于线圈的位置无关，且从线圈平面跟中性面重合时开始计时．由上式计算所得的是t时刻的感应电动势的瞬时值，在“交流电”一章中，感应电动势的瞬时值常用小写“e”表示，以区别于其有效值．线圈在磁场中转动产生的感应电动势的平均值则需由公式计算．例9、如图所示，长l的金属导线下悬一小球，在竖直向下的匀强磁场中做圆锥摆运动，圆锥的半顶角为，摆球的角速度为ω，磁感应强度为B，试求金属导线中产生的感应电动势．解析：方法一：金属导线切割磁感线的有效长度各点平均切割速度所以金属导线中产生的感应电动势.方法二：金属线导线旋转一周切割的磁感线条数．即穿过圆锥底面的磁感线条数，旋转一周所需的时间所以金属导线中产生的感应电动势.