泊松方程和拉普拉斯方程概念分析

第二章静电场静电场计算中的两类问题——已知场空间分布，求源电荷分布•利用高斯定理的微分形式0DED——已知源电荷分布，求空间场分布电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，且其中的介质是均匀线性和各向同性的。•应用场强叠加原理场区域有限区域边界上场量要受到某种边界条件限制————边值问题sqsdD0•利用高斯定理的积分形式（当电场分布具有某种空间对称性）VdrrrrrrEv3041)(VvdvR04E直接法间接法2第二章静电场2.5泊松方程和拉普拉斯方程微分形式：0ED积分形式:lSldEqSdD02.5.1静电场的基本方程本构关系:线形、各向同性媒质ED静电场:无旋有散场第二章静电场2.5.2泊松方程和拉普拉斯方程D2EED2EEEED电位满足的泊松方程当场中无电荷分布(即)的区域:002拉普拉斯方程2拉普拉斯算子第二章静电场拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式2直角坐标系中:圆柱坐标系中:球坐标系中:zyxzayaxazayaxazyxzyx2222222ˆˆˆˆˆˆ第二章静电场四.一维泊松方程的求解P.66例2-9例2-10第二章静电场例1设有一个半径为a的球体,其中均匀充满体电荷密度为ρv(C/m3)的电荷,球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程,求解球内、外的电位和电场强度。解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2,φ1满足泊松方程,φ2满足拉普拉斯方程,由于电荷均匀分布,场球对称,所以φ1、φ2均是球坐标r的函数。;第二章静电场(1)分别列出球内、外的电位方程:当r≤a时,0122121vrrrr当r≥a时,0122222rrrr将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解:DrCBrArv22016第二章静电场(2)根据边界条件,求出积分常数A、B、C、D:边界条件是:;①r=a,φ1=φ2;;②r=a,③r→∞,φ2=0(以无限远处为参考点);;④r=0,(因为电荷分布球对称,球心处场强E1=0,即Er=0)。由上述条件,确定通解中的常数:;2010rr01r02032,3,0,0aBaCDAvv第二章静电场例2如图所示三个区域,它们的介电常数均为ε0,区域2中的厚度为d(m),其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷,分界面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。平板形体电荷的几何关系第二章静电场［解］设①、②、③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、φ3(y)。(1)分别列出三个区域的电位方程。在①、③两个区域内电位满足拉普拉斯方程,而第②区域的电位满足泊松方程:2022202323202222221212dydyddyddydyddydv第二章静电场将上面三个方程分别分两次可得653432022112CyCCyCyCyCv由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)=φ1(-y)，所以我们只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、C2、C3、C4。第二章静电场(2)由边界条件确定常数:边界条件为:①2dy时,φ1=φ2;dyddyd2010(交界面上无自由面电荷);②y=0,φ2=0因体电荷板无限大,不能选择无限远处为参考点,这里选择y=0处为参考点。第二章静电场③由场分布的对称性,φ2(y)=φ2(-y);由条件②、③可得:0,034CC由条件①可得)(2)(82822222020201022012021VydVdyddCdCdCdCvvvvvv第二章静电场)(820203Vdydvv根据公式ydydEˆ可求得三个区域的电场分布:)/(ˆ2)/(ˆ)/(ˆ2030201mVydEmVyyEmVydEvvv2222dydydyd第二章静电场※场量在不同媒质分界面上各自满足的关系将场量在分界面上分解成:法向normal分量(以下标n表示)-----垂直于分界面切向tangency分量(以下标t表示)-----平行于分界面)ˆˆ(ˆˆˆˆˆˆtntntnEtEnDtDnDttnnEtEnE由静电场基本方程的积分形式:2.6分界面上的边界条件lSldEqSdD0两种不同媒质分界面的边界条件第二章静电场两种不同媒质分界面的边界条件法向边界条件切向边界条件SqSdDlldE0第二章静电场法向边界条件一.D满足的边界条件SqSdD第二章静电场SqSnDSnDSˆˆ21若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时:00)(1212nnDDDDn或SqSdD或SnnDD21SDDn)(21结论:若两种媒质交界面上有自由电荷,则D的法向分量不连续高斯通量定理第二章静电场(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;静电场中导体内部电场为零,故snsDDn11或ˆ☆两种特殊情况(2)两种介质都是电介质,且分界面上没有自由电荷,即ρs=0,则nnDDDDn21210)(ˆ或nnEE2211即结论:当ε1≠ε2时,E的法向分量不连续,其原因是交界面上有束缚面电荷密度第二章静电场ttEEEEn21210)(ˆlldE0结论：在介质交界面上,电场强度的切向分量始终连续或静电场的无旋性:二.E满足的边界条件第二章静电场三.电位φ满足的边界条件21sn1snn2211nn2211SnnDD21ttEE21(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;(2)两种介质都是电介质,且分界面上没有自由电荷,即ρs=0,则第二章静电场电场方向在交界面上的曲折2211222111sinsincoscosEEEE212121rrtgtg两式相除:改写:四、介质分界面上电场方向的关系ttEE21nnDD21边界条件:当两种介质分界面上没有自由电荷,即ρs=0,则------静电场的折射定理第二章静电场边界条件•构成边值问题必不可少的条件;•判断不同媒质界面两侧场量的大小、方向及连续、突变;第二章静电场例1同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常数为ε2，如图所示。设内、外导体带电分别为q和-q，求内外导体之间空间的电位移矢量和电场强度。Er1Er2Er2Er1第二章静电场解：reEEEˆ21在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有2212222111221221222121)(2ˆ)(2ˆˆ)(2)(222rqeDrqeDerqEqErErErrrrSqSdD第二章静电场例3.11如图所示,两个无限长同轴圆柱,内、外导体半径分别为a和b,两导体间部分填充介电常数为ε的电介质,内外导体间的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c;图(b)中0＜φ＜φ1间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出:(1)内、外导体间的电场强度E及电通量密度D;;(2)导体表面上单位长度的带电量ρl。第二章静电场［解］因为同轴圆柱是轴对称结构,故只有沿半径ρ方向的电场。图(a)结构中,电场垂直于介质与空气的交界面,根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件,可知道不同介质内D的表示式相同。而在图(b)结构中,电场平行于介质与空气交界面,由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件,得知不同介质内E的表示式相同。(1)图(a)结构:当ρ=c时,2121DDDDnn令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、-ρl(C/m),根据高斯定理可得第二章静电场a＜ρ＜c时,c＜ρ＜b时,)/(ˆ2)/(ˆ21121mVDEmCDll)/(ˆ2)/(ˆ2002222mVDEmCDll第二章静电场cbnacndddlEdlEUllbclcabcca11112220021所以)/(111120mCcbnacnUl内导体带电量为+ρl，外导体带电量为-ρl第二章静电场(2)图(b)结构:当φ=0时,ˆˆ1111111llDED21EE当0φφ1当φ1φ360。时dlEdlEUDEDbaball210012022122ˆ)2(ˆ)2(第二章静电场所以因而得abnUDabnUDabnUEE1,1102121abnUdUabnUdUllballba1)2(,)2(1,0120121111第二章静电场作业：2-82-17