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专题三组合图形的面积计算1.一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。例2两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。所以，阴影部分的面积是17厘米2。例3下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。解法三：延长BC交GF于H（见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。例4在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）。2.割补法在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。例6求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。例7如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）例8下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。作业：1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？答案：400厘米2。解：扇形CEF与直角三角形ABC的面积相等，∠C=45°，所求圆的面2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。答案：140厘米2。提示：所求面积等于右图中阴影部分的面积，为（20-5+20）×8÷2=140（厘米2）。3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。（π=3.14）答案：.24厘米2。提示：扇形ABD的面积为π×4×4÷4=12.56（厘米2），直角三角形ABC的面积为12.56+3.44=16（厘米2），BC=16÷4×2=8（厘米），梯形ABCD面积为（4+8）×4÷2=24（厘米2）。4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。答案：8。提示：由三角形ADC与三角形EBC的面积相等，推知所求部分面积与三角形BCF面积相等。5.左下图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。5．答案：1厘米。解：（4×6-9）÷6×2=1（厘米）6.右下图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。6．答案：3厘米。解：连结CB（见右图）。三角形DCB的面积为4×4÷2-2=6（厘米2），CD=6÷4×2=3（厘米）。影部分的面积和。7.答案：12厘米2。解：连结DF（见右图）。因为AE=ED，所以△BED与△ABE面积相等，解得S△ABF=12，即阴影部分的面积和为12厘米2。8.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米2，正方形水池的面积是多少平方米？答案：64米2。提示：右图中每个小矩形的宽是2，面积是80÷4，所以水池的边长是80÷4÷2-2=8（米）。9.求下列图中阴影部分的面积(a=2cm,b=4cm)：提示：答案：8平方厘米10.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。答案：4.56厘米2。提示：如左下图所示，所求面积等于右下图中圆面积减去正方形面积，等于（4÷2）2π-4×4÷2=4.56（厘米2）。11.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。答案：下底9厘米，高6厘米。解：用两个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见左下图），大正方形的面积为36×2+3×3=81（厘米2）。边长为9厘米。所求梯形的下底为9厘米，高为9-3=6（厘米）。12.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。答案：6厘米。提示：右上图中甲、乙的面积相等，所以，CD=18÷3=6（厘米）。13.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。答案：117厘米2。提示：下图中丙与乙相同，C与C＇相同。甲、乙的边长和等于45÷3=15（厘米），甲的边长为（l5+3）÷2=9（厘米）。甲、乙的面积和为9×9×2-45=117（厘米2）。14.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。答案：20厘米2。解：将AD，BC分别延长，相交于E（见右图）。四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ABE与等腰直角三角形CDE的面积之差，为7×7÷2-3×3÷2=20（厘米2）。