泛函分析答案

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泛函分析答案:1、所有元素均为0的n×n矩阵2、设E为一线性空间,L是E中的一个子集,若对任意的x,y∈L,以及变数λ和μ均有λx+μy∈L,则L称为线性空间E的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx+μy=0∈L,则L必定含零元素。3、设L是线性空间E的子空间,x0∈E\L,则集合x0+L={x0+l,l∈L}称为E中一个线性流形。4、设M是线性空间E中一个集合,如果对任何x,y∈M,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的λ和μ,都有λx+μy∈M,则称M为E中的凸集。5、设x,y是线性空间E中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件:(1)非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y(2)d(x,y)=d(y,x)(3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z∈En维欧几里德空间常用距离定义:设x={x1,x2,…xn}T,y={y1y2,…yn}Td2(x,y)=(21||niiixy)1/2d1(x,y)=1||niiixydp(x,y)=(1||npiiixy)1/pd∞(x,y)=1max||iiinxy6、距离空间(x,d)中的点列{xn}收敛到x0是指d(xn,x0)0(n∞),这时记作0limnnxx,或简单地记作xnx07、设||x||是线性空间E中的任何一个元素x的范数,其须满足以下条件:(1)||x||≥0,且||x||=0iffx=0(2)||λx||=λ||x||,λ为常数(3)||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y∈E8、设E为线性赋范空间,{xn}∞n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε0,总存在自然数N,使得当nN,mN时,均有|xm-xn|ε,则称序列{xn}是E中的基本列。若E的基本列的收敛元仍属于E,则称E为完备的线性赋范空间,即为Banach空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert空间。11、L2(a,b)为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L2(a,b),2|()|baftdt<∞。当L2(a,b)中内积的定义为(f,g)=_____()()baftgtdt(其中f(t),g(t)∈L2(a,b))时其为Hilbert空间。★12、算子表示一种作用,一种映射。设X和Y是给定的两个线性赋范空间,集合DX,若对D中的每一个x,均有Y中的一个确定的变量y与其对应,则说这种对应关系确定了一个算子T,记为y=T(x),y为x的像,x为y的原像。13、算子的范数:设T为有界线性算子,则对一切x∈D(T),使不等式||Tx||Y≤M||x||X的正数M的下确界称为T的范数,||T||=sup||Tx||/||x||,||x||≠0。直观的理解就是||x||的最大放大率。★14、根据线性算子零空间的定义:对线性算子T:EE1,必有T0=0,则称集合{x∈E|Tx=0}为T的零空间,它是E的线性子空间,并不一定是值域E1的子空间。15、如果存在一正常数M,使得对每一个x∈D(T),都有||Tx||Y≤M||x||X,则称T为有界算子。无界算子:设算子T:C1[0,1]C[0,1]定义为:(Tx)(t)=x'(t),则T是线性算子,若视C1[0,1]为C[0,1]的子空间,则T是无界的。16、设{Tn}=L(X,Y),T∈L(X,Y),如果对任何一个x∈X,均有||Tnx-Tx||0(n∞),则Tn弱收敛于T。17、L(X,Y)是BANACH空间。*18、压缩映像原理又叫BANACH不动点定理,其具体内容如下:设X为BANACH空间,F为XX的算子,且D(F)∩R(F)≠Φ,如果x*∈X,满足F(x*)=x*,称x*为F的不动点。设集合QD(F),如果存在常数q∈(0,1)使得对任何x',x''∈Q,有||F(x')-F(x'')||≤q||x'-x''||,称F为Q上的压缩算子,q为压缩系。压缩映像原理:设算子F映BANACH空间X的闭子集Q为其自身且F为压缩算子,压缩系为q,则算子F在Q内存在唯一的不动点x*,若x0为Q内的任意点,作序列xn+1=F(xn),n=0,1,2,…,则{xn}∈Q,xnx*,而且有估计||xn-x*||≤q/(1-q)||F(xn)-F(x0)||。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点,且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设X是实数域上的线性赋范空间,D是X的线性子空间,f:DR,如果f满足:对任何α,β∈R,x,y∈D,f(αx+βy)=αf(x)+βf(y),则f是D上的一个线性泛函,或者说由XR的算子为泛函。泛函f的范数定义如下:||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1),并且有|f(x)|≤||f||×||x||。20、定义在整个线性赋范空间X上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X,R)称为空间X的共轭空间,又叫对偶空间,其是完备的。21、弱收敛:X为线性赋范空间,{xn}X,x0∈X,如果对任何一个f∈x*均有0lim()()nnfxfx,则称{xn}弱收敛于x0。弱收敛不一定强收敛,强收敛一定弱收敛。22、泛函的GATEAUR微分:设X为线性赋范空间,x0∈X,f(x)的x0及其领域内有定义,如果对任意h∈X,极限:000()()limtfxthfxt存在,则称f(x)在x0处对方向h存在GATEAUR导数,记为0(,)fxh。又称为泛函f(x)在x0处对于方向h的一阶变分。23、0(,)fxh称为泛函f(x)在x0处对于方向h的一阶变分。令0()(),tfxth则'00)()(0)(0)lim(,)ttfxht。24、'''0xxdggdt25、应变能密度:0()()ijklklijijWd::应变余能密度:0()ijijijcijWd::其关系如下图所示:26、有限元方法的本质是:有限元=瑞兹法+具有局部紧支集的分片插值函数。27、,,1[()](),()2iijiiiijijjiVVSuxWdVfudVPudsuu,其中[()]ux为系统的总势能,()ijVWdV为应变能,后两项为外力势能,fi为体积力分量,iP为给定S边界上的外力。最小势能原理:在所有满足边界条件(iiuuonSu)和必要的连续性条件的位移场中,系统的总势能最小,即对所有可能的位移,真实位移使得系统势能()u最小。其基本的未知函数是位移场ui,其应该满足:(1)单值、连续,满足适当的可微性,应该满足小位移应变关系,,,1/2()ijijjiuu。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件,即:iiuuonuS。推导与证明过程如下:把Π取一阶变分:δΠ=()ijiiiiijiiiiVVsVVsijWWdVfudVpudsdVfudVPuds其中:,,,,,,,(1/21/2)1/21/2[()]ijijijijijjiVVVijijijijjiijijijijijjiVVVVWdVdVuudVudVudVudVuudV而,()()uijijijijijjiijjiVsssudVundsnudsnuds由于在su上iiuu为已知,则uijjisnuds=0所以δΠ=,ijjiijjiiiiisVVsnudsudVfudVpuds由δΠ=0得,0ijjifonijjinponuS即极值点满足应力平衡条件,则其是真实的位移。下面证明此极小值是Π的最小值:设正确解是ui,,其它满足位移边界条件的容许位移是ui*,则ui*=ui,+δui,则εij*=εij+δεij,由此得到:Π*=Π+δΠ+δ2Π其中δΠ=0,δ2Π=()ijVWdV≥0,所以Π*≥Π,则极小值即是最小值。证明完毕。28、系统的总余能()()uccijiijjVsWdVunds,其中第一项为系统的应变余能,第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足,0ijjifin和ijjinponuS的应力场(满足适当的光滑性),真实的位移场使系统的总余能最小。其基本未知函数是应力场ij,对其要求为,0ijjifinijjinponuS证明如下:对()c取一阶变分:()()uijcijiijjVsijWdVunds,其中,,,,,1/2()()cijijijijjiijijijiijjiijjVVVVVVijWdVdVuudVudVudVudV由高斯定理可知:,()iijjiijjVsudVunds在边界面S上,ijjinp是已知的,所以0ijjinP,则,()uiijjiijjVsudVunds同理,由于,0ijjif,其中fI是给定的,所以在内,,ijj=0。由以上推导可得:()()uciiijjsuunds,由极值条件()c=0,得iiuu,在uS上。这就说明了()c取得极值时的ij既满足外力已知的边界条件,也满足位移已知的边界条件,所以是正确解,是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值:设外力已知边界条件下的应力分量为*ij,*ijijij**()()()()uuccijiijjcijijiijijjVsVsWdVundsWdVunds*2()()()()cccc,其中2()()0ccijVWdV,所以()c≤*()c,所以这个极小值是最小值。证明完毕。29、Hellinger-Reissner混合变分原理:以位移和应力作为独立变分的函数,真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小。证明:构造余能泛函:,()()()ucijiijjiijjiiijjiVsVsWdVundsfdVnPdV变分得:,,,()()()()()uijjijijijjiiiiijiijjiiiijjVVsssdVfdVdSnPdSunds依ij的对称性,得,,,1/2()ijijijjiij。则,,,,,()[1/2()]ijjijijijjijjiijVVdVdV由=0的驻值条件可得:,,,1/2()ijjijji,0ijjifinii=0ijjinP=0onsiiuonus取iiu,iiu,则余能泛函变为下面形式:*,()()()ucijijjiiiijjijjiiVssWfudVundsnPudV,由以上计算过程可知,由泛函*的驻值条件给出的,ijiu必定满足平衡方程,应力应变关系,应变位移关系,外力和位移的边界条件,所以它们是正确解,是真实的应力场和位移场。可以证明,当以ui*=ui,+δui和*ijijij代入以上泛函,得**,***,即真实的位移场和应力场使余能泛函取得最小值。

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