泛函分析考试试卷自制试卷

泛函分析考试试卷一、选择题。1、下列说法不正确的是（）A、n维欧式空间Rn是可分空间B、全体有理数集为Rn的可数稠密子集C、l∞是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T在x0ЄX连续的充要条件是（）A、当xn→x0（n→∞）时，必有Txn→Tx0（n→∞）B、当xn→x0（n→∞）时，必有Tx0→Txn（n→∞）C、当x0→xn（n→∞）时，必有Txn→Tx0（n→∞）D、当xn→x0（n→0）时，必有Txn→Tx0（n→0）答案：D3、在度量空间中有（）A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案：C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B、Lp[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间C、空间lp是巴拿赫空间D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间答案：D5、下列对共轭算子性质描述错误的是（）A、（A+B)*=A*+B*;B、(A*)*=A**C、当X=Y时,(AB)*=B*A*D、（aA)*=aA*答案：B二、填空题1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为。答案：原像T-1M是X中的开集2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。答案：连续算子。3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切xЄX有。答案：（Tx，x）=04、有界线性算子T的共轭算子T×也是有界线性算子，并且TT。答案：=5、设{fn}是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果{fn}在X的每点x处有界，那么{fn}。答案：一致有界三、判断题1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。（）√2、设T1和T2是希尔伯特空间X上两个自伴算子，则T1*T2自伴的充要条件是T1*T2=T2*T1。（）√3、强收敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。（）×4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则T的逆算子T-1不是有界线性算子。（）×5、无界算子不是闭算子。（）×四、证明题1.设X是赋范线性空间,f是X上连续线性泛函,证明f的零空间N(f)是X中闭子空间.证明：对任何x,yN(f),及任何,f(xy)f(x)f(y)0所以xyN(f).所以N(f)是线性空间.又设xnN(f),且xnxX,由f连续f(x)limnf(xn)0所以xN(f).所以N(f)是闭集.2.设X是赋范空间,A,BB(XX)是X上正则算子,证明TAB是X上正则算子.证A,B是正则算子,所以A1,B1存在,且A1,B1B(XX)令SB1A1B(XX),则STB1A1ABI,ABB1A1I所以ST1,所以T是正则算子.3.设H是实内积空间,A是H上自伴算子,证明A0的充分必要条件是对所有xH,Ax,x0.证明必要性:Ax,x0,x0,xH.充分性:对任意x,yH0A(xy),xyAx,xAx,yAy,xAy,yAx,yAy,x由T是自伴算子Ay,xy,AxAx,y,所以2Ax,y0x,yH所以Ax0xH所以A0.4、．证明：)1(plp是可分空间。解：考虑集合}1,);,0,,,,{(21nQrrrrBin，即B是由至多有限个坐标不为0，且坐标都是有理数的元素构成。因此，B是可数集。对于pilxx)(，有)||1ipix，所以0,0N，当Nn时，pnipix)2()||1，有有理数的稠密性，可取得nrrr,,,21，使得pnipiirx)2()||1令pnlBrrry),0,,,,(21。且pppnipipnipiipnipinipiipipiixrxxrxyxyx/1/11/11/111/11))2(2()||()||()||||()||(||||即B在)1(plp中稠密。依定义知)1(plp是可分的。5、设H是内积空间，Hyyxxnn,,,，则当xxn，yyn时，),(),(yxyxnn，即内积关于两变元连续。解：H是内积空间，设||||是由其内积导出的范数，由于xxn，yyn，所以0，0n使得当0nn时均有||||xxn和||||yyn同时由于yyn，故知ny有界，Hx所以||||x有限。因此可取||)||||,(||sup1nnyxM因此|),(),(),(),(||),(),(|yxyxyxyxyxyxnnnnnn|),(||),(||),(),(||),(),(|yyxyxxyxyxyxyxnnnnnnnMyyMxxMyyxyxxnnnnn2||||||||||||||||||||||||故0)},(),(lim{yxyxnnn，即),(),(yxyxnn五、计算题1、在实数轴R上，令pyxyxd||),(，当p为何值时，R是度量空间，p为何值时，R是赋范空间。解：若R是度量空间，所以Rzyx,,，必须有：),(),(),(zydyxdzxd成立即pppzyyxzx||||||，取1,0,1zyx，有2112ppp，所以，1p若R是赋范空间，pxxxd||||||)0,(，所以Rkx,，必须有：||||||||||xkkx成立，即ppxkkx||||||，1p，当1p时，若R是度量空间，1p时，若R是赋范空间。