泛函分析试题B评分标准

试卷第1页共5页泛函分析期末考试试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、如果存在xX，使lim(,)0nndxx2、f是X上连续泛函3、对所有xX，有Txx成立，且T是映射到Y上的4、221,4xyxyxy5、存在'fX0()nffn二、计算题（20分）叙述(1)plp空间的定义，并求pl的共轭空间。答：（1）121(,,),,(1,2)ppiiilxRiLL（2）对于任意12(,,,)nxLL，12(,,)nyLL，定义运算1122(,)nnxyL，12(,)naxaaaLpl按上述加法与数乘运算成为线性空间（3）11ppipixpl按上述定义的范数构为Banach空间………….6分令(0,01,0),1,2nnenLLL，121(,,0,0,),nnnniiixxeLL则12(,)pnnxlLL能被表示为limnnxx，对任意给定'pfl，令(),1,2nnfenL则11()(lim)lim()lim()nnnniiiinnniifxfxfxfe.试卷第2页共5页若0,f则0,1,2,,kkL所以不等式11qqiif自然成立，若0,f则k不全为0，对任何自然数n，令()()()123,,,,nnnnxL其中()3/,,00,,0qnkkkkknkn或显然,pnxl因为()11()nnqnniiiiifx，另一方面又有11()11(),pppqnnniiiifxfxff因为k不全为0，所以当n足够大时，110,pqii在上面不等式两边同除以11pqii，得到11qqiif。因此12(,)qnlLL。………….7分反之，对12(,)qnblLL，作pl上泛函()fx如下：121(),(,)npiinifxxlLL，显然f是pl上线性泛函，并且由Holder&&不等式，可得111111(),pqpqiiiiiiqpiiiifxbx因此，'(),pfl并且有sup.iqifb综上'().pqll…………7分三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间(1)plp中的Holder不等式。证：Holder不等式：设1212111,1,(,),(,),pqnnpxlylpqLLLL则试卷第3页共5页1111122111(,),pqpqnniiiiiiizlLL且满足不等式由于对任何正数AB及，有不等式11pqABABpq成立。…………………………….4分当111100pqpqiiii或，命题显然成立；当111100pqpqiiii且，记1111,.iiiipqpqiiii令,,pqiiAB可得pqiiiipq即111pqiiiiiiipq因此11111pqpqiiiiiii成立，11122(,)nnzlLL。………….8分2、（15分）设M是Hilbert空间X的闭子空间，证明MM。证：由正交补的定义，易证MM，只要证明MM即可。设xM，由投影定理，存在,.yMMzMxyz及使……………7分因为xM，并且M是线性空间，所以xyM，因此0,0,.zxyMMzxyM即所以命题得证。……………………8分3、（14分）Hilbert空间X是可分的，证明X任何规范正交系至多为可数集。试卷第4页共5页证：由于Hilbert空间X是可分的，则存在有限或可数个向量,ix使,ispanxX不妨设ix为X中的线性无关子集，否则可取ix中的线性无关子集。………….5分由Gram-Schmidt正交化，存在有限或可数的规范正交系ie，使对任何自然数,n成立11,,,nnspaneespanxxLL所以由ie张成的线性空间包含ix，因此,iispanespanxX即ie是X中完全规范正交系………….9分4、（12分）证明Banach空间X自反的充要条件是X的共轭空间自反。证：若X是Banach空间，则存在一个从X到X的自然的等距同构映射XJXX：，若XJXX（），则称X是自反的。其中XJ是这样定义的，若,,()()()xXfXJxffx.为方便起见，记X到X的自然的等距同构映射0J，X到X的自然的等距同构映射1J.要证明0JXX()=的充要条件为1JXX()=。若0JXX()=，对任意FX，定义0:,()(()).fXxXfxFJx若对任意10000,()()()()()().()xXJfJxJxffxFJxJXX因，因此1().JfF这就证明了1JXX()=。……………………7分反之，若1JXX()=，而0JXX()。则存在FX，使F在0JX()上恒为零，而1.F但11,,.JXXfXJfF()=必有使()=对任意xX，0100()()()()()()0,fxJxfJfJxFJx这样0.f但11,JfF()=矛盾，因此必有0JXX()=。……………………5分5、（12分）叙述l空间的定义，并证明l空间是不可分的。证：l表示有界实数列全体，对l中任意两点1212(,),(,)nnxyLLLL，定义(,)supiiidxy，易证l按(,)dxy成为度量空间………………….4分试卷第5页共5页令M表示l中坐标i取值为0或1的点12(,)nxLL全体，则M与二进位小数一一对应，所以M的基数为c。对M中任意两个不同的点,,(,)1,xydxy有如果l可分，则l中存在可数稠密子集，设为iy，对M中每一点x，作球11(,),(,)|33UxUxxM则是一族两两不相交的球，总数有不可数个。但由于iy在l中稠密，所以每个1(,)3Ux中至少含有iy中一点，这与iy是可数集矛盾。…………………….8分