泛函距离空间读书报告

距离空间读书报告一距离空间基本概念定义1设X是任意空集，对x中任意两点x，y有一实数(,)dxy与之对应且满足：(1)0,yxd且d(x,y)=0,当且仅当x=y；(2)d(x,y)=d(y,x)（对称性）；(3)d(x,y)d(x,z)+d(z,y)(三角形不等式).称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集X称为一个距离空间,记为（X,d）,在不引起混乱的情形下简记为X.定义2设nx是距离空间（X,d）中的一个点列,0x是X中的一点,如果当n时,0),(0xxdn,则称当n时,nx以0x为极限,或当n时,nx收敛于0x.记为onxx(n)有关极限的两个简单性质:设nx是距离空间（X,d）中的收敛点列,则(1)nx的极限是唯一的;(2)如果nx以0x为极限,那么nx的任意子列必收敛且以0x为极限.下面有几个距离空间的例子.和在距离空间中收敛性的涵意.例1空间nRX是n元实数组全体,定义nkkkyxd12)(),(,其中,),,,(),,,,(2121nnyx.通过验证d满足距离的三条公理.所以(X,d)是一个距离空间。以后把这个空间简记为nR.在空间nR中,易见空间的收敛就是按坐标收敛.例2空间C[ba,]考虑区间[ba,]上所有的连续函数集，设x(t),y(t)是[ba,]上任意两个连续函数，定义)()(max),(tytxyxdbta，通过验证d满足距离的三条公理.所以[ba,]上的连续函数全体，赋以上述距离是一个距离空间，记为C[ba,].C[ba,]的收敛是函数列在[ba,]上的一致收敛.例3离散空间D设X是任意非空集,在X中定义d如下:yxyxyxd,1,0),(,不难验证d是一个距离,从而是一个距离空间,称这个空间为离散空间,用D的表示.在离散空间D中,nx收敛于0x当且仅当,从某一下标开始,nx为常驻列0x.二距离空间中的点集1开集与闭集点0P的δ邻域:}),(|{0),(0ppdpOp点0P为E的内点:EOp),(0,0使得记0E为E的内部（内点全体）点0P为E的外点:EOp),(0,0使得点0P为E的边界点:cppEOEO),(),(00,0且有记E为E的边界（边界点全体）定义1若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集.X是距离空间，X中的开集有以下几点性质:（1）空集和全空间X为开集；（2）有限多个开集之交为开集（无穷多个开集的交集未必是开集）；（3）任意多个开集之并为开集.点0P为E的接触点：EOp),(0,0有点0P为E的聚点：}){(,00),(0pEOp有记E为E的闭包（接触点的全体）注意：聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E.定义2设A是距离空间X中的集,如果A=A,则称A为闭集.任一的闭包E是闭集,它是包含E的最小闭集.任一开集的余集是闭集,任一闭集的余集是开集.X是距离空间，X中的闭集有以下几点性质:（1）空集和全空间X为闭集；（2）有限多个闭集之并为闭集（无穷多个闭集的并集未必是闭集）；（3）任意多个闭集之交为闭集.2稠密子集可分距离空间设A,B是距离空间X中的子集,如果AB,称B在A中稠密.事实上,设A、B是直线上任意两个集，若B的任意一点x的任意领域),(中总含有A的点，则称A在B中稠密.当1RB时，称A是直线上的稠密集.定义3设X是距离空间,如果X中存在一个稠密可数子集,则称X是可分的.nR是可分的,C[ba,]可分.例空间l不可分考虑有界实数列之全体,设kkyx,是两个有界实数列,定义kkkyxdsup),(.上述距离空间记为l,是不可分的.三完备距离空间定义1设X是距离空间，nx是X中的点列,如果对任意0,存在自然数N,当m,nN时,),(nmxxd,称nx是一个Cauchy列.如果X中任意Cauchy列都收敛,称距离空间X是完备的.由以上定义可以得到一下结论:(1)距离空间中任一收敛点列是Cauchy列;(2)完备距离空间的任一闭子空间也是完备的.在具体空间中nR是完备的.C[ba,]是完备的.事实上,nx是C[ba,]中任一Cauchy列,则任意0,存在自然数N,当m,nN时,),,(bat)()(txtxmn,由此,函数列nx一致收敛,并且它的极限函数x(t)是[ba,]上的连续函数,即它是C[ba,]中元.在上面不等式中令m,则,,batNn,有)()(txtxn,这表明0),(xxdn(n).l是完备的.有理数集Q按距离d(x,y)=|x-y|是距离空间,但不完备.事实上，在有理数集Q中，有理数列nn)11(收敛,因而是Cauchy列,但其极限为Qe，故Q不完备.注证明一个距离空间X不完备，通常有两种方法：1)构造X中的一个Cauchy列，然后说明该Cauchy列在X中无极限；2)直接构造X中的一个极限函数不属于X的收敛点列，该点列一定是X中的Cauchy列.四压缩映射原理设（X,d）是完备距离空间,T:XX,并且对任意Xyx,,不等式),(),(yxdTyTxd成立,其中10,则存在唯一的xxTXx使得,.压缩映射原理的应用例题考虑问题00),(xxtxfdtdxtt其中,),(txf在平面上连续并且对变量x满足Lipschitz条件:1221),(),(xxKtxftxf,则问题在的0t某个邻域中有唯一解.选取1,0K使得,考虑空间00,ttC,在这个空间上定义00)),(()(xdxftTxtt,则T是空间到自身的映射.此外,由于dxfxfTxTxdtttt00)),(()),((max),(2121dxxKtttt00)()(max12)()(max120xxKtt),(21xxdK由于10K且空间00,ttC完备,由压缩映射原理立刻得结果.五拓扑空间及紧空间基本概念定义1设X是任一集,t是X的子集构成的集族,且满足条件:(1)集X与空集属于t;(2)t中任意个集的并集属于t;(3)t中任意又穷个集的交集属于t.则称t是X上的一个拓扑,集X上定义了拓扑t,称它是一个拓扑空间,记为(X,t).在不引起混淆的情况下简记为X.凡属于t中的集称为开集.注意:开集在连续映射下的像不一定是开集.如果YXf:把X中的任一开集映射为Y中的开集,则称f是开映射.定义2设X是拓扑空间，如果IGX，其中，对于每一I,G是开集，则称G，I是X的一个开覆盖.如果X的任意开覆盖中必存在又穷子覆盖，即存在In,,1,使得nkkGX1,则称X是紧的.注意:设A是X的子集,如果A作为X的子空间是紧的,则称A是紧的.紧空间中任一闭子集是紧的.定义3设A是距离空间X的子集,如果A中任意点列必包含一个在X中的收敛子列,则陈A是列紧集.如果X是列紧集,称X是列紧空间.由该定义可得;(1)列紧集的子集是列紧的;(2)列进空间是完备的.