波动方程求解

1关于弦振动波动方程的求解方法一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),(达朗贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为)(|),(|0,,0022222xtuxutxxuatutt由达郎贝尔公式，解在点),(tx的值由初始条件在区间],[atxatx内的值决定，称区间],[atxatx为点),(tx的依赖区域，在tx平面上，它可看作是过点),(tx，斜率分别a1为的两条直线在x轴上截得的区间。2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题)2()(|),(|)1(0,),(0022222　　　　　　　　　　　　　　　　，　　xtuxutxtxfxuatutx令),(),(),(txVtxUtxu，可将此定解分解成下面两个定解问题：2(I)　　　　　　　　　　　，　)(|),(|0,0022222xtuxutxxuatutx(II)　　　　　　　　　　　　　　　　，　0|,0|0,),(0022222txtuutxtxfxuatu其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：atxatxdaatxatxtxU)(21)]()([21),(。对于问题(II)，有下面重要的定理。定理（齐次化原理）设),,(tx是柯西问题　　　，　　),(|,0|22222xfttxattx的解)0(，则tdtxtxV0),,(),(是问题(II)的解。二、有界的弦振动方程1、分离变量法齐次条件的分离变量法（1）（2）（3）设)()(),(tTxXtxu，代入方程（1）得：)()()()('''taTtTxXxX)(|),(|0),(),0(0,0,01022222xuxutlututlxxuatutt　　　3上式右端不含x，左端不含t，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为，则有：0)()(''xXxX（4）0)()(2'tTatT（5）所齐次边界条件可得：0)()(,0)0('lhXlXX（6）从而特征值问题:0)()(,0)0(0)()('lhXlXXxXxX对的取值分三种情况0，,00进行讨论。这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。非齐次条件分离变量法分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如：)()0,()()0,()(),(),(),0(),(212xxuxxutgtlutgtutxfuautxxtt4设),(),(),(txWtxVtxu，通过适当选取),(txW使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(txW满足：)(),0(11tgtW，)(),(21tgtlW即可。小结：分离变量法的解题步骤a，令)()(),(tTxXtxUb，将试探解带入泛定方程。c，将等式两边同时乘以xxua21，进行分离变量，获得两个常微分方程。d，由边界条件，将）（xX方程解出需要讨论本征值（0，,00）三种情况，获得本正值和本征函数。e，写出)t(T解的形式后与）（xX一起构成),(txU通解形式。f，由初始条件确定待定系数。三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法傅里叶级数解法）（）（）（　　　3)(|),(|20),(),0(10,0,01022222xuxutlututlxxuatutt设),(),(),(txWtxVtxU（4），其中构造）（）（tt),(BAtxV让其满足（2）则：）（）（）（）（，5tsintt-xtt-t)tx(AV5所以对),(txW有：）（）（）（　　　8)(|),(|70),(),0(60,0,tsint010222222xuxutlWtWtlxAxWatWtt令）（）（9tkxsint),(0kkTtxW（9）式带回到（6）式）（）（9tkxsint),(0k1kTtxW解出：1n2thsin2-t1k）（T整理出),(txW与),(txV构成),(txU的解，再带回到（3）是求出待定系数。小结：一般傅里叶级数的求解步骤1、令0kkk)x(t),(XTtxU）（，其中展开基)x(kX为对应齐次函数本征函数（由边界条件决定）2、将0kkk)x(t),(XTtxU）（带入泛定方程后，将），（txf也按)x(kX展为傅里叶级数，比较等式两边，获得）（tkT的常微分方程。3、将0kkk)x(t),(XTtxU）（带入初始条件，得到关于）（tkT方程的定解条件。4、解关于）（tkT的常微分方程。5、将）（tkT解的通解形式带回到0kkk)x(t),(XTtxU）（中即可。（此时即为方程的解）