波函数,薛方程,势阱

复习•德布罗意波实物粒子的二象性•不确定关系hEhP＝Ph＝hpxx21.6波函数与薛定谔方程ThewavefunctionandSchrödingerEquation引言描述微观粒子运动规律的系统理论是量子力学。量子力学有两种不同的表述方式。一种是薛定谔根据德布罗意的波粒二象性假设，从粒子的波动性出发，用波动方程来描述粒子和粒子体系的运动规律，这种理论也称波动力学，是薛定谔于1926年创立的。另一种是从粒子的粒子性出发，用矩阵形式来描述粒子和粒子体系的运动规律，这种理论是在1925年左右，由海森堡、玻恩、泡利等人创建的，也称为矩阵力学。两种理论完全等价。我们只介绍波动力学的基本概念和基本理论。海森堡在1925年（24岁）建立了矩阵力学。薛定谔在1926年（39岁）建立了波动力学。波动力学与矩阵力学是量子力学的两个等价理论。海森堡薛定谔薛定谔是著名的奥地利理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔(ErwinSchrodinger，1887-1961)薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔(ErwinSchrodinger，1887-1961)他和狄拉克一道，为量子力学的建立做了开创性的工作，为此，他们于1933年共获诺贝尔物理学奖。1928年建立了电子的狄拉克方程，在薛定谔建立波动力学的同一年，狄拉克（24岁），将薛定谔方程推广到相对论情形。1930年预言了正电子的存在，同一年出版《量子力学原理》。这部巨著是对量子力学建立和发展的系统总结。书中创造了“狄拉克符号”——既简洁又深刻的描述方式。此著被称作量子力学的“圣经”。狄拉克微观粒子不仅表现出粒子性，而且表现出显著的波动性，粒子的位置和动量不能同时准确测定，要受到不确定关系的限制。因此，微观粒子不服从经典力学的规律，它的运动状态，不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。微观体系的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的基本假设之一。知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质。当粒子处于某个波函数所描述的量子态时，它的力学量如坐标、动量等一般有许多可能值，这些可能值各自以一定的几率出现，这些几率都可以由波函数得出。量子力学建立在若干基本假设的基础上，这些假设与几何学的公理一样，不能用逻辑的方法加以证明。但从这些基本假设出发推导得出一些重要结论，可以正确地解释和预测许多实验事实，于是这些假设也被称为公理或公设。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态由薛定谔方程决定。一、波函数概率密度1、平面简谐波的波函数一个频率为，波长为、沿x方向传播的单色平面波的波函数为xtAtxy2cos),(复数形式xtiAetxy2),(2、自由粒子的波函数一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：hE/ph/波函数可以写成/20,xtietxxhPthEietx20,振幅cossiniei3、波函数的统计解释某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。dVtzyxdW2,,,概率密度dVdW/波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。*玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点•玻恩假定描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”tr,trtrtr,,,*2概率密度例如光子自由平面波波函数＝常数2(,)),(trtiAetrrp在空间各点发现光子的概率相同•用电子双缝衍射实验说明概率波的含义(1)人射强电子流干涉花样取决于概率分布，而概率分布是确定的。(2)人射弱电子流电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子自己和自己干涉的结果。•波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念哥本哈根学派--爱因斯坦著名论战量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解释。上帝不会掷骰子波函数的概率解释是自然界的终极实质玻尔、波恩、海森伯、费曼等还有狄拉克、德布罗意等4、波函数满足的条件标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内，它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一化条件要求波函数平方可积。1dV归一化因子：若某波函数ΨA未归一化AdVAA*112dVAA归一化因子二、薛定谔方程1、问题的引入在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。建立薛定谔方程的主要依据和思路：•要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式phhE/,/•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子)(22rVmpE•若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。波函数应遵从线性方程2、自由粒子的薛定谔方程xptEipxEthieetx020,分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数Etipxi2h2222px考虑到E=p2/2m2222xmti把波函数与方程E=p2/2m相乘，并用tiExiP代替即可。3、势场中运动的粒子的薛定谔方程当粒子在势场中运动PkEEEPEmpE2/2PExmti22224、粒子在三维空间中的薛定谔方程PEmti2222222222zyxPEmH222ˆHtiˆ哈密顿算符5、关于薛定谔方程的说明薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的一个基本原理；薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程时，还要加上一些条件：•波函数平方可积，且满足归一化条件；•波函数及其对空间的一阶导数连续；•波函数为单值函数；•薛定鄂方程的正确性只有通过实践来检验。6、定态薛定鄂方程若粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，即Ep=Ep(r)不显含时间，则薛定鄂方程的一个特解可以写为)(,tfrtrrEmtftfirP222)(rEmrtffiP2221方程左边只与时间有关，而右边是空间坐标的函数。由于空间坐标与时间是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一个常量时，该等式才成立，以E表示该常量，则Eftfi/~)(iEtetf因而薛定鄂方程的特解为/,iEtEertr)()(222rErEmEEPΨE(r)满足下列方程该方程称为定态薛定鄂方程E——能量本征值ΨE(r)——本征函数定态薛定鄂方程也称为本征方程。满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下，可以证明：①粒子分布概率不变；②能量不变；③其它力学量平均值不变。三、薛定谔方程的应用到目前为止，我们有了两条关于微观粒子的基本原理：①微观粒子的状态（量子态）用波函数描写；②微观粒子状态的变化遵循薛定谔方程。波函数的意义用概率解释，波函数满足：归一化条件，标准条件。薛定谔方程是否正确，这要由实验验证。可将薛定谔方程用于某量子系统，进行分析并作出逻辑推断，再对这种推断进行实验验证。一、一维无限深势阱中的粒子1.物理背景金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒子的运动被限制在一定的空间范围内。或者说，粒子处于束缚态。为了便于分析，可以对束缚态的粒子提出一种比较简化的理想模型。例如，电子在金属晶格中的运动。对于各向同性的晶体，三维可作一维研究。第一次简化：一维晶格中电子的势能曲线0xxa如果直接用此曲线表示的势能带入薛定谔方程中，就形成一个相当困难的数学问题。第二次简化：用平均势能代替晶格势能0xxaU这一步的实质是不考虑电子间、电子与晶格离子间的相互作用，这样的电子就相当于理想气体分子－自由电子气。第三次简化：将平均势能作为零势能将表面势能视为无限大势能零点的选取有任意性。0xxa2.势能函数0(0)()(0,)xaUxxxax0aV(x)()0x()0x这样就把粒子限制在0→a范围内了3.薛定谔方程222()2()()dxmUExdx由于阱外发现粒子的概率为零，所以阱外波函数必为零。边界条件：(0)()0a由标准条件，波函数在阱内外不能突变。在0xa区域，定态薛定谔方程为令222mEk4.解方程、定常数22220dxmExdx2220dxkxdx()cos()xAkx特解为比较谐振动方程2220dxxdt由边界条件，波函数在x=0处连续，由边界条件，波函数在x=a处连续由于因此有(0)cos0A(21)2n()sinxAkx()sin0aAkaπnka有222mEk22222nEnma2πna所以能量是量子化的!1,2n0n≠！n=0，相当于E=0，这意味着阱中处处找不到粒子。量子数为n的定态波函数为由归一化条件一维无限深势阱中粒子的波函数可得()sinπnnnxAxa222-0|()|sin(πannnxdxAxdxa）/2nAa0(0,)()2sin12(0)πnxxaxnxnxaaa，，1结果：为了深刻理解量子力学基本原理，要对上述结果作一个全面讨论。同时也验证一下，在极限情况下它能否回到经典理论的结果。（因为这个模型太抽象，不可能用实验直接验证）2()sinπnnxxaa12n，，0xa()nx0a1E14E19E116E21nE几率密度xanax22sin2|)(|势阱中粒子的能级、波函数和几率密度分布曲线对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。1n2n3n4n2/aa123402||2/aa00pE1E14E19E116E5.阱中波函数及相关结果的分析①比较经典的驻波方程21212(,)2cos()cos()22yxtAxt一维无限深势阱中定态薛定谔方程的通解为：()ikxikxxAeBe()cossinxCkxDkx