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本科毕业论文（设计）文献综述泰勒公式的展开及其应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：2012级1班学号：1207010258学生姓名：周波指导教师：吴奎霖2016年5月25日《泰勒公式的展开及其应用》文献综述报告摘要前言：早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至Taylor展开思想的提出：利用n次多项式来逼近函数f,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor公式的应用，本文最大的特点是让Taylor公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor公式的认识和理解。关键词：泰勒公式；余项；展开式一、正文：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（BrookTaylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程.最后在1731年12月29日于伦敦逝世。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的这个定理——泰勒定理：式子内v为独立变量的增量，及为流数.他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成.随着近代微积分的蓬勃发以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有大数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。本论文通过引入数学分析中的知识点Taylor展开的思想，采取举例分析的方法，对Taylor公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论(利用Taylor公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值)展开式：泰勒公式可以用（无限或者有限）若干项连加是（级数）来表示一个函数，这些相加项由函数在某一点（或者加上在临近的一个点的n+1次导数）的导数求得。对于正整数，若函数()在[𝑎,𝑏]内为存在阶的连续导数，且在其上有+1导数。则在其上一定点0，对于任意∈[𝑎,𝑏]，成立。()=(0)+′(0)(−0)+′′(0)2!(−0)2+⋯+𝑓𝑛(𝑥0)𝑛!(−0)𝑛+𝑅𝑛(),(2)其中𝑅𝑛()是余项，是(−0)𝑛的高阶无穷小量。余项：泰勒公式的余项𝑅𝑛()有以下几种不同的形式：1、Peano余项𝑟𝑛()=𝑜((−0)𝑛),2、Lagrange余项𝑟𝑛()=(𝑛+1)(𝜀)(+1)!(−0)𝑛+13、积分余项𝑟𝑛()=(−1)𝑛!∫(−)𝑛𝑛+1𝑥()4、柯西（Cauchy）余项对Lagrange余𝑟𝑛()=𝑓(𝑛+1)(𝜀)(𝑛+1)!(−0)𝑛+1进行变换，若把(𝑛+1)(𝜀)(−0)𝑛看作一个函数，使用积分第一中值定理进行计算，则有:𝑟𝑛()=(𝑛+1)(𝜀)(−0)𝑛!(−0)=(𝑛+1)(𝜀)(1−𝜃)𝑛(−0)𝑛+1!其中θϵ(0,1)5、施勒米尔希·罗什（Schlomilch-Roche）余项𝑟𝑛()=(𝑛+1)(𝑎+𝜃(−𝑎))(1−𝜃)𝑛+1−𝑝(−𝑎)𝑛+1!𝑝,其中θ∈(0,1)，𝑝任意实数，且当𝑝=+1时对应Lagrange余项𝑝=1时对应柯西余项。Maclaurin展开：当0=0时，上面的泰勒公式转化为()=(0)+𝑓′(0)1!+𝑓′′(0)2!2+⋯+𝑓𝑛(0)𝑛!𝑛+𝑅𝑛(),我们将此式为Maclaurin公式。二、文献介绍前面一部分简单介绍了本论文写作背景和泰勒公式相关的基本概念。现在中西方的不少著作都对泰勒公式的余项和应用进行介绍的，下面就对我所翻阅的有关泰勒公式的文献进行一下简单的介绍。文献[1]全面介绍了泰勒公式的展开。书中首先以函数在一阶处展开为例，引出完整的泰勒展开式，此外还介绍了Peano余项及其证明过程。文献[2]简单的介绍了一些基本函数的泰勒展开，并利用无穷级数的除法及变量代换求导积分的方式，推导出了更多函数的泰勒展开如𝑎、等等。文献[3]给出诸多泰勒余项，如积分余项、柯西余项等等，并对其余项条件及证明进行了说明。文献[4]利用比较法，推导出了泰勒公式不论通过什么途径、使用何种方式得到的展开式，只要余项满足lim𝑥→𝑥0𝑅𝑛(𝑥)(𝑥−𝑥0)𝑛=0,则此展开式的系数一定是相同的，可以直接使用𝑎𝑘=𝑓(𝑘)(𝑥0)𝑘!进行计算。文献[5]分别对使用L’Hospital法则来进行求解极限和泰勒公式求极限进行了分析说明。文献[6]中收录了大量与泰勒展开相关的例题及证明方法，其中有许多经典的例题，本论文中不等式的证明及中值估计的例题多参照此文献。总的来说，这些文献中既有对泰勒公式基本知识的论述，如文献错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，也有对泰勒公式更深入一步的研究，如文献错误!未找到引用源。。此外文献[7]，[8]，[9]，[10]分别对泰勒公式在各个方面的应用进行了研究，如应用泰勒公式在《数值计算》中推导牛顿迭代法和欧拉法；泰勒公式在《复变函数》中的推广，以及泰勒展开在复数中与实数中的异同等等。三、总结总所周知，泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要的作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具。但是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，却同样也还有很多方面很少被提及，需要不断的探索。而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多的实际问题。四、参考文献：[1]陈纪修,於崇华,金路,数学分析(上册)[M],北京:高等教育出版社,2004.192~193[2]张自兰,崔福荫,高等数学证题方法[M],陕西:陕西科学出版,1985.[3]徐志庭,刘名生,冯伟贞,数学分析(二)[M],北京:科学出版社,2009.180~181[4]刘名生,冯伟贞,韩彦昌,数学分析(一)[M],北京:科学出版,2009.P145~146[5]李锐,利用Taylor公式计算极限问题注记[J],商情,2010.28[6]裴礼文,数学分析中的典型问题与方法[M],北京:高等教育出版社,1993.245~246[7]吴孟达,数学分析(上册)[M],长沙:国防科技大学出版社,2002.114~115[8]孔珊珊,Taylor公式在数值计算中的应用[J],济宁学院学报,2011.32(3):70-71[9]黄清云,舒适,陈艳萍等,数值计算方法[M],北京:科学出版社,2009.225~245[10]史济怀,刘太顺,复变函数[M],合肥:中国科学技术大学出版社,1998.