电磁场与电磁波第十章作业题解答

XYab题10-1图第十章电磁波波导中的传播作业题解答10-1．一矩形波导管由理想导体制成，管的横截面宽为a，高为b，设管轴与Z轴平行。试证明：（1）在波导管内不能传播单色（也即单频）波0jtzxEeEe，式中E0、ω、β均为常数；（2）在管壁处，磁通密度矢量B的分量仅满足如下关系0,0,0,0,yzxzBBxaxxBBybyy解根据题意，可选取坐标如图所示。（1）矩形波导内电磁波在垂直于传播方向的横平面内纵向Z分量不能为零，可以分为三种情况，即,0,,0zzExyHxy或者,0,,0zzExyHxy或者,0,,0zzExyHxy如果,0,0zzExyHxy且则波导内的场分量全为零，即波导内无波传播。由题可知，电场矢量0jtzxEeEe显然，电场仅有xE分量，而0yzEE==。根据麦克斯韦方程，有0000xyzjzyjzEjjexyzEeeeeHEe磁场仅有yH，而0xzHH==，所以00zzEH==且由此可以判断，在波导内电场0jtzxEeEe为非传播模式。（2）矩形波导内沿Z方向传播的电磁波具有的形式为,,,,,,zzjkzjkzxyzxyexyzxyeEEHH式中,,,,,,,,xxyyzzxxyyzzxyExyExyExyxyHxyHxyHxyEeeeHeee而由麦克斯韦方程，有jHE代入得到zxzyzyzxyxzHjEjkHyHjEjkHxHHjExy利用物质方程BHzxzyzyzxyxzBjEjkByBjEjkBxBBjExy（*）下面讨论该方程在波导壁面满足的边界条件：①在0x,xa==波导壁面上，根据电场切向边界连续的边界条件1120,0ttEEnE或有0,0,0yzxxaxxaEE理想导体表面磁通密度矢量法向边界条件为11200nnHHnB，或有000,00,0xxxxxxaxxaHHBB或由边界条件，代入方程（*）可得0zBx，0yBx②在0y,yb==波导壁面上，根据电场切向边界连续的边界条件，有0,0,0xzyybyybEE根据理想导体表面磁通密度矢量法向边界条件，有000,00,0yyyyyybyybHHBB或由边界条件，代入方程（*）可得0,0xzBByy得证。10-2．矩形波导横截面尺寸为a×b，传输TE01模（m=0,n=1），已知其电场强度为0sinjtzxyEEeb试求：（1）Hy；（2）ez方向的平均功率密度；（3）TE01模的传输功率。解（1）由题知，时间因子为jte-w，由麦克斯韦方程，有jEH写成分量形式为xyzxyzjjxyzEEEeeeHE由题知，0yzEE==，代入得到000sin00sincosxyzjzjzjzyzjxyzyEebyjyEeEebbbeeeHee则有0sinjtzyyHEeb（2）写出电场和磁场的复振幅表达式为000sinsincosjzxjzjzyzyEebyjyEeEebbbEeHee代入得到ez方向的平均功率密度为000000**sinsincossinsi11ReRe221Re2ncosjzjzjzxyzjzjzjzxyzzavyyjyEeEeEebbbbyyjyEeEeEebbbbSEeHeeeeee220sin12yEb（3）TE01模的传输功率为*()2202202200000020sins11Re2212121i4nsinbazSbazbPddxdydxdyEbyEbabyyEdbybabEEHSee10-3．矩形波导截面尺寸为23×10mm2，波导内介质为空气，信号源频率为10GHz。试求：（1）波导中可以传输的模式（不是衰减）；（2）该模式（如果有多种模式存在时，只要求其最低模式）的截止频率、相位常数、波导波长、相速度、本征阻抗。解（1）由于波导内为空气，则信号源的工作波长为()829301030101010c..mff-u?l====?´2210222222.3104.610cTEammanb2202222.310cTEammanb2012222210cTEbmmanb1122222211cTMmanbab32229.771012.310.5m根据传输条件c可以判断，波导内仅可传输10TE模。（2）10TE模的截止频率、相位常数、波导波长、相速度、本征阻抗分别为2289103.01016.5210220.023cTEmnfHzab22222211cczzffmnfkkkkabff即221010102992892211210106.521011.5910/3.0101010cTEcTEzTEffffkfcfradm22102221023.010103.0103.96114.610gTEcTEm88210222103.01010/33.96114.61.0010TEcTEms102212203.01120497.3114610.0TEcTE10-4．矩形波导的尺寸为a=72.14mm、b=34.04mm，当工作波长为5cm时，波导中能传输哪些模式？解矩形波导中截止波长的表达式为222cmanb根据传输条件c有2222225.0107.214103.40410mn即22222227.214103.4041016005.010mn满足此条件的m、n为①0m=时，1362n.，传输的波形为01TE；②1m=时，128n.，传输的波形为11TE、11TM、10TE；③2m=时，0982n.，传输的波形为20TE；④3m=时，n无解。由此可知波导中可传输的模式共五种：01TE、11TE、11TM、10TE、20TE。10-5．已知矩形波导的横截面尺寸为a×b=23mm×10mm，试求当工作波长λ=10mm时，波导中能传输哪些波型？λ=30mm呢？解矩形波导的传输条件为222cmanb1．当λ=10mm时，有22222100.0423102310mnmn即满足条件的m和n取值为①m=0时，n2.00，由于波导内不存在TM00、TMmo和TM0n波，所以仅可传输TE01模。②m=1时，n1.95，能传输的模式为TE11、TM11和TE10。③m=2时，n1.80，能传输的模式为TE21、TM21和TE20。④m=3时，n1.50，能传输的模式为TE30、TE31和TM31。⑤m=4时，n0.95，所以能传输的模式为TE40。⑥m=5时，n无解，不存在传输模式。由此说明当λ=10mm时，波导内存在11种模式的波形。2．当λ=30mm时，有2222243023109002310mnmn即满足条件的m和n取值为①m=0时，n0.67，波导内无传导模式存在。②m=1时，n0.50，能传输的模式为TE10。③m=2时，n无解，不存在传输模式。由此说明当λ=30mm时，波导内是单模TE10传输。10-6．矩形波导的尺寸为a=22mm、b=11mm，波导内为空气，若信号的频率为10GHz，确定波导中传输的模式、截止波长、相位常数、波导波长和相速度。解由于波导内为空气，则信号源的工作波长为()893010301010c.mmffu?l====´矩形波导的传输条件为222cmanb数值代入，有2221221115mn满足条件的m和n取值为①m=0时，n0.74，波导内无传导模式存在。②m=1时，n0.54，能传输的模式为TE10。③m=2时，n无解，不存在传输模式。所以波导中仅可传输TE10模式。10TE模的截止波长、相位常数、波导波长和相速度分别为10222244cTEammmanb2289103.01016.8210220.022cTEmnfHzab22222211cczzffmnfkkkkabff即221010102992892211210106.821011.5310/3.0101010cTEcTEzTEffffkfcfradm21022212023.010104.1114.410103.0gTEcTEm88210222103.01010/34.4114.110.010TEcTEms