的南大历年《量子力学》的真题

南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一)20分有半壁无限高势垒的一维阱axaxxVxV0000在0VE的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分一个取向用角坐标和确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：2cosˆˆ22BLAH，式中A和B均为常数，且BA，2ˆL是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p能级（1l）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。（三）20分求在一维无限深势阱中，处于xn态时的粒子的动量分布几率2pn。（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：（1）ijxipjxipeee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ？式中iˆ和jˆ分别是x和y方向的单位矢量。（2）)(ˆˆˆˆ,ˆ'xfpipxfppxxxx？式中xipxˆ，（3）系统的哈密顿算符为rVpH2ˆˆ2，设rn是归一化的束缚态波函数，则有：nnnnrVrp212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为BlsHHHˆˆˆ1，其中SLdrdVrcHls121ˆ22，ZZBSLceBH22，当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？注：immllmemlmllYPcos!!412xxP01；2/12111xxP；xxxP2/12121322213xxP南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业:理论物理、粒子物理与原子核物理(20分)一、t＝0时，粒子的状态为][sin)(2kxAx，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。二、粒子被约束在半径为r的圆周上运动(20分)(a)设立“路障”进一步限制粒子在00的一段圆弧上运动：)2()0(0)(00V求解粒子的能量本征值和本征函数。(10分)(b)设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少?(20分)三、边长为a的刚性立方势箱中的电子，具有能量2223ma，如微扰哈密顿bxyH1，试求对能量的一级修正(式中b为常数)。(15分)四、对自旋为1／2的粒子，Sy和Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本征值(A和B是实常数)。(15分)五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是)/exp()exp()(02hxipxNxx；])(exp[)()(200ppbppcp式中bcN、、、和0p都是已知实常数．试求t=0和t0时粒子坐标和动量的平均值,??00ttpx，（Aˆ表示力学量算符Aˆ的平均值）。*aadxexax41202南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等一.一维谐振子处在22212/1)(xex状态,m,求:(1)势能的平均值(7分)(2)动能的几率分布函数(7分)(3)动能的平均值(7分)提示:dxeix2)(二.质量为m的粒子在一维势场00)(VxVaxaxx00中运动,求,(1)决定束缚态能级的方程式(15分)(2)至少存在一个束缚态的条件(5分)三.质量为m的粒子在一维势场cxxV)(axaxx0,0中运动,其中c是小的实常数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量.(20分)四.两个自旋21的非全同粒子系的哈密顿量)]2(ˆ)1(ˆ[ˆSSJHs0J求sHˆ的能量本征值和相应的简并度.(20分)五．(1)设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中,不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的分裂情况.(10分)(2)如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E,再用微扰论求n=2能级的分裂情况.(9分)提示:az3210200南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学专业：理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中axaxxxV0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数axxaAxaxxx0),(;0,0描述。求：（20分）1.归一化常数A;2.粒子能量的平均值；3.t=0时刻，粒子能量的几率分布；4.人艺t0时刻的波函数的级数表达式。提示：96145,3,14nn二、考虑势能为0,00,0xxVxV的一维系统，其中0V为正常数。若一能量为E的粒子从x处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。（20分）三、有一质量为的粒子，在一维谐振子势场2221xxV中运动。在动能22pT的非相对论极限下，基态能210E，基态波函数为24102expxx。考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E至21c阶。（c为光速）（20分）四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。（20分）提示：电子质量fmMeVcMeVmc197,511.02，晶格常数01Aa五、考虑自旋21S的系统，1．求算符zySBSATˆˆˆ的本征值和归一化本征波函数；（A、B为实常数）2．若此时系统正处在Tˆ的某一个本征态上，求此时测量ySˆ结果为2的几率。（20分）南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学一、一维自由粒子的状态由波函数kxkxxcos21sin2描述。求粒子的动量平均值和动能平均值。（20分）二、粒子被约束在半径为r的圆周上运动1）设立“路障”进一步限制粒子在00的一段圆弧上运动，即2,0,000V，求解粒子的能量本征值和本征函数；2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？（20分）提示：在柱坐标系下22222211zuuuu三、设算符ˆˆˆNaa且ˆˆ,1aa，证明：如果是Nˆ的本征函数，对应的本征值为，那么，波函数aˆ1也是Nˆ的本征函数，对应的本征值为1，而波函数aˆ2也是Nˆ的本征函数，对应的本征值为1。（20分）四、一个粒子在二维无限深势阱elsewhereayxxV,,0,0中运动，设加上微扰xyH1ayx,0，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）五、若电子处于zSˆ的本征态，试证在此态中，ySˆ取值为2或2的几率各为21。（20分）南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理一、一个质量为的粒子处于一维谐振子势2212Vxx中运动，为谐振子的本征振动频率。如果0t时，该粒子处于态021,03xxcx，其中0x和2x分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c为待定常数且0c。1）根据归一化条件，求待定常数c；（5分）2）求t时刻粒子所处的状态,xt；（5分）3）求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；（10分）4）求粒子能量的平均值；（5分）5）若在t时刻，粒子所处的势场突然变为'2213Vxx，求粒子在时刻处于新的势场'Vx的第一激发态的几率。（5分）二、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，1）写出质点运动的哈密顿量；（10分）2）在小角近似下求系统的能级；（10分）3）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。（10分）提示：质量为m，本征频率为的一维谐振子的基态波函数为2201exp2xCx，其中C是归一化常数，m；2expxdx。三、质量为的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a，高度为0V的一维势垒00||/2||/2xaVxVxa。设粒子的能量0EV。试求发生共振透射（即透射系数为1）的条件。（30分）四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量1212zzHASSBSS描述，其中1S和分别是两个粒子的自旋，而1zS和2zS则分别是这两个粒子自旋的z分量，A和B是实常数。求该哈密顿量的所有能级。（30分）五、一个质量为，带电荷为q的粒子，束缚在宽度为a的一维无限深势阱0||/2||/2xaVxxa中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。（30分）六、两个粒子被束缚在一个边长为abc的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为1212,VxxAxx可以作为微扰，其中1x和2x分别为两个粒子的坐标，A为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。1）两个粒子为自旋为零的全同玻色子；（15分）2）两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。（15分）南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学一、已知电子质量为，电子电量为(-e)，回答以下问题：1)一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）2)五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分）3)一个电子处于一维谐振子势场2221x中运动，其中是谐振子的本征园频率，x是电子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）4)如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）5)请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分）6)假定氢原子处于基态，求电子势能re2的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10分）二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：)()cossin(),,(rgeri，其中)(rg仅是径向坐标r的函数。1）求角动量平方2ˆL的可能测量值和相应的几率；（10分）2）求角动量的z分量zLˆ的可能测量值和平均值。（10分）三、S代表电子的自旋算符，)cos,sinsin,cos(sinn为从原点指向单位球面上),(方向上的单位向量，其中是纬度，是经度。1)在),(2zSS表象下求自旋S在n方向上的投影SnSn的本征值和相应的本征波函数。（10分）2)假定电子处于nS的某个本征态，那么测量zS会得到哪些数值，相应的几率是多少，测量zS的平均值又是多少？（10分）四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为s02的粒子在一维无限深势阱LxLxxV;;0)(中运动，其中0和L是正常数，x是粒子的坐标，s是粒子的自旋算符。现在考虑在0x的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在0x的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低