盐城中学数学

盐城市高三数学试卷第页(共6页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)2010．4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，若a∥b，则x＝__________.2.已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N＝____________.3.设复数z1＝1－i，z2＝－4－3i，则z1·z2在复平面内对应的点位于第__________象限．4.为了解高三女生的身高情况，从高三女生中选取容量为60的样本(60名女生身高，单位：cm)，分组情况如下：分组[151.5,158.5)[158.5,165.5)[165.5,172.5)[172.5,179.5)频数621频率a0.1则a＝____________.5.若a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则α∥β的充分而不必要条件是__________．(将正确的序号全部填上)①a⊂α，b⊂α，a∥β，且b∥β；②a⊂α，b⊂β，且a∥b；③a⊥α，b⊥β，且a∥b；④a∥α，b∥β，且a∥b.6.与直线y＝x－2平行且与曲线y＝x2－lnx相切的直线方程为________________．7.已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x＞0，则不等式f(x)≥x2的解集为____________．8.设sin(α＋β)＝35，cos(α－β)＝310，则(sinα－cosα)(sinβ－cosβ)的值为____________．(第9题)9.如果执行右面的程序框图，那么输出的S＝____________.10.设P是直线l：y＝2x且在第一象限上的一点，点Q(2,2)，则直线PQ与直线l及x轴在第一象限围成的三角形面积最小值为____________．11.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，使得|PF1→＋PF2→|＝|F1F2→|成立，则离心率的取值范围为____________．12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝(12)n(n≥2)，Sn＝a1·2＋a2·22＋…＋an·2n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3Sn－an·2n＋1＝____________.13.对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝____________.14.连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n，则以点(0,0)、(1，－1)、(m，n)为顶点能构成直角三角形的概率为______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1＝PC1＝2.(1)求证：PA1⊥BC；(2)求证：PB1∥平面AC1D.16.(本小题满分14分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a2－c2＝3ab－b2，S△ABC＝2.(1)求CA→·CB→的值；(2)设函数y＝sin(ωx＋φ)(其中φ∈[0，π2]，ω＞0)，最小正周期为π，当x等于角C时函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x的集合．17.(本小题满分15分)游泳池中相邻的两条泳道A1B1和A2B2(看成两条互相平行的线段)分别长90m，甲在泳道A1B1上从A1处出发，以3m/s的速度到达B1后以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在泳道A2B2上从B2处出发，以2m/s的速度到达A2后以同样的速度游回B2处，然后重复上述过程．(不考虑每次折返时的减速和转向时间)．两人同时开始运动．(1)设甲离开池边B1B2处的距离为ym，当时间t∈[0,60](单位：s)时，写出y关于t的函数解析式；(2)请判断从开始运动起到3min为止，甲乙的相遇次数．18.(本小题满分15分)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，直线x＋2y－4＝0与圆C1相交于M、N两点，以MN为直径作圆C2.(1)求圆C2的方程；(2)过原点O的直线l与圆C1、圆C2都相切，求直线l的方程．19.(本小题满分16分)已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为12，公比为12的等比数列(m≥3，m∈N*)，并对任意n∈N*，均有an＋2m＝an成立．(1)当m＝12时，求a2010；(2)若a52＝1128，试求m的值；(3)判断是否存在m，使S128m＋3≥2010成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20.(本小题满分16分)已知关于x的函数f(x)＝x2＋2ax＋b(其中a、b∈R)．(1)求函数|f(x)|的单调区间；(2)令t＝a2－b.若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m＋1)|≤14同时成立，求t的最大值.盐城市高三数学附加题试卷第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)一、选做题：在四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.(选修4­1：几何证明选讲)自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B、C两点．求证：∠MCP＝∠MPB.2.(选修4­2：矩阵与变换)已知矩阵A＝21－12，B＝1－201，记C＝AB.(1)求C－1；(2)若矩阵B把直线l：x＋y＋2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．3.(选修4­4：坐标系与参数方程)已知A是曲线ρ＝12sinθ上的动点，B是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求AB的最大值．4.(选修4­5：不等式选讲)设P是△ABC内的一点，x、y、z是P到三边a、b、c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明x＋y＋z≤12Ra2＋b2＋c2.二、必做题：每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．5.一袋中有x(x∈N*)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．(1)当x＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；(2)当x＝3时，设ξ表示取出的2个球中红球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；(3)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于23，求x的最小值．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF→＝(1,0)，OT→＝(－1，t)，FM→＝MT→，PM→⊥FT→，PT→∥OF→.(1)当t变化时，求点P的轨迹C的方程；(2)若过点F的直线交曲线C于A、B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．盐城市高三数学参考答案第页(共3页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1.－92.(2,3)3.二4.0.455.③6.x－y＝07.[－1,1]8.－3109.16210.411.[22，1)12.n＋113.85714.81515.证明：(1)连结PD交B1C1于H，连结BH.(1分)∵BC⊥AD，BC⊥AA1，AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADPA1.(3分)∵PA1⊂平面ADPA1.∴BC⊥PA1.(6分)(2)∵PH∥BB1，且PH＝BB1，∴四边形B1PHB为平行四边形．(8分)∴PB1∥BH.而BH∥C1D，∴PB1∥DC1.(10分)又∵PB1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，∴PB1∥平面AC1D.(14分)16.解：(1)cosC＝a2＋b2－c22ab＝32，(2分)∵0＜C＜π，∴C＝π6.(3分)∵S△ABC＝2，∴12absin30°＝2，∴ab＝8，(5分)∴CA→·CB→＝abcos30°＝8×32＝43.(7分)(2)ω＝2.(8分)当且仅当2x＋φ＝π2＋2kπ，即π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，(9分)此时φ＝π6＋2kπ.又∵φ∈[0，π2]，∴φ＝π6.(10分)∴当2x＋π6＝－π2＋2kπ时函数取最小值．(12分)即函数取最小值时的x的集合为{x|x＝－π3＋kπ，k∈Z}．(14分)17.解：(1)y＝90－3t，t∈[0，30]，3t－90，t∈30，60].(8分)(2)如下图．(说明：若写出乙的函数解析式，则给予相应的得分)五次90(15分)18.解：(1)设圆C2的圆心坐标为(x，y)，(1分)过圆心C1(1,2)且与直线x＋2y－4＝0垂直的直线方程为y＝2x，(3分)∴x＋2y－4＝0，y＝2x，解得x＝45，y＝85.(5分)又因为圆C2的半径为r＝452＋852＝455，(6分)∴圆C2的方程为(x－45)2＋(y－85)2＝165.(8分)(2)设直线l的方程为y＝kx，圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2.(9分)C1到直线y＝kx的距离为d1，C2到y＝kx的距离为d2.则d1＝r1，d2＝r2.由图形知，r21＝r22＋(C1C2)2，∴d21＝d22＋15.∴|k－2|k2＋12＝|4k5－85|k2＋12＋15，解得k＝9±522.(13分)∴直线l的方程为y＝9±522x.(15分)19.解：(1)an＋24＝an，所以a2010＝a18.(2分)a18是以12为首项，以12为公比的等比数列的第6项，所以a2010＝164.(4分)(2)1128＝(12)7，所以m≥7.(5分)因为a52＝1128，所以2km＋m＋7＝(2k＋1)m＋7＝52，其中m≥7，m∈N*，k∈N*，(6分)即(2k＋1)m＝45，当k＝0时，m＝45，成立；当k＝1时，m＝15，成立；当k＝2时，m＝9成立；(9分)当k≥3时，m≤457＜7.所以m可取9、15、45.(10分)(3)S128m＋3＝64S2m＋a1＋a2＋a3＝6410m＋mm－12－2＋121－12m1－12＋10＋8＋6＝704m－64m2＋88－64(12)m≥2010，(12分)704m－64m2≥2010－88＋64(12)m＝1922＋64(12)m，设f(m)＝704m－64m2，g(m)＝1922＋64(12)m，(14分)g(m)＞1922；f(m)＝－64(m2－11m)，对称轴m＝112∉N*，所以f(m)在m＝5或6时取最大值f(x)max＝f(5)＝f(6)＝1920.因为1922＞1920，所以不存在这样的m.(16分)20.解：(1)①当a2－b≤0时，单调区间为(－∞，－a)减，[－a，＋∞)增；(2分)②当a2－b＞0时，单调区间为(－∞，－a－a2－b)减，(－a－a2－b，－a)增，(－a，－a＋a2－b)减，(－a＋a2－b，＋∞)增．(5分)(2)①当－14≤a2－b≤0时，由方程x2＋2ax＋b＝14，解得x1,2＝－a±a2－b＋14，此时|x2－x1|＝2a2－b＋14≤1，不满足．(8分)②当14＞a2－b＞0时，由方程x2＋2ax＋b＝14，解得x1,2＝－a±a2－b＋14.此时|x2－x1|＝2a2－b＋14∈(1，2)，满足题意．(11分)③当a2－b≥14时，由方程x2＋2ax＋b＝14和方程x2＋2ax＋b＝－14，解得x1,2＝－a±a2－b＋14，x3,4＝－a±a2－b－14，此时由于|x2－x1|＝2a2－b＋14∈[2，＋∞)，|x3－x1|＝a2－b＋14－a2－b－14＝12a2－b＋14＋a2－b－14≤24＜1，所以只要|x3－x4|＝2a2－b－14≤1即可，此时a2－b≤12，综上所述t的最大值为12.(16分)盐城市高三数学附加题参考答案第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附