流体力学-1-8.

大气流体力学大气科学学院，王伟回顾涡度、散度的定义以及物理含义（计算）形变率的概念第六节速度势函数和流函数一、速度势函数(VelocityPotential)二、速度流函数(StreamFunction)三、二维流动的表示四、流动的分类一、速度势函数①定义（速度势函数的引入及存在条件）流体运动无旋流动涡旋流动0V否则，则称之为涡旋流动：0V如果在流体域内涡度为零，即:无旋流动；据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：0对于无旋流动，必定存在一个函数满足如：或tzyx,,,VgradV无旋流动，其速度矢总可以用函数的梯度来表示，把函数叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。tzyx,,,2019年12月23日星期一5kwjviuVzwyvxu,,而引进了势函数后：②引入势函数的优点流速矢描述流体运动含有三个变量；需要给定三个变量刻画流体的运动情况。只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。2019年12月23日星期一6由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速小。V③用势函数来描述流体运动对于某一固定时刻=常数为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。上式取不同常数不同的等位势面等位势面族。tzyx,,,2019年12月23日星期一7例1-6-1已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如图所示（其中，）的，请判断并在图中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B两处流速的大小。0122019年12月23日星期一82019年12月23日星期一9势函数与对应的无旋风场（图中速度方向与实际相反）V注：实际计算中势函数与无旋运动的关系式常采用下式HL辐散辐合④势函数的求解假如流体的散度为：根据势函数的定义有：其中，为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。zwyvxuDD22222222zyxzwyvxu,,2019年12月23日星期一10求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。2019年12月23日星期一11①定义及存在条件二、速度流函数0//,,,,,0yvxutyxvvtyxuuw考虑二维无辐散流动，即满足：0udyvdxvdyudx或其流线方程为：0V0V无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：2019年12月23日星期一120,,,,,,dytyxudxtyxvtyxdxvyu,kV根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:流速与该函数满足：矢量形式：0udyvdx2019年12月23日星期一13积分以上的全微分形式，可以得到：=常数tyx,,上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数的等值线。将以上引进的函数称之为流函数，而流线也就是等流函数线。对某一固定的时刻：一空间曲线－－流线方程积分曲线。流速与该函数的关系－－－曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。2019年12月23日星期一142019年12月23日星期一15流函数与对应的无辐散风场（旋转风场）（2）表征流体通量在流体中任取一条有向曲线AB，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：曲线法向方向的单位矢量定义为：而：②引入流函数的优点BAnBAdlVdlnVQ流速在曲线法向方向上的分量（1）减少表征流动的变量dlnkdldyjdxildAB2019年12月23日星期一17引用流函数，并考虑：或表明:经过以A和B为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。BAdxxdyyQABQ()/dlnkdyidxjdldlBAnBAdlVdlnVQxvyu,同样，求解流函数的方法为：（1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程；（2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。（3）表征流体涡度由涡度的定义，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。yuxv2222yxxvyu,2019年12月23日星期一20一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。问：是否存在速度势函数和流函数？三、二维流动00yvxuDyuxvVVV一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足：①无辐散涡旋流②无旋辐散流①②VVVVVV00VkVDyxyx22222222kVyxvxyu上式为大气动力学中广泛采用的形式。2019年12月23日星期一23四、流动的分类第一章总结§1流体的物理性质和宏观模型（概念）①流体的主要物理性质：流动性、粘性和压缩性；②流点的概念和流体的宏观模型------连续介质假设。§2流体的速度和加速度（理解、计算和应用）①描写流体运动的两种观点：Lagrange观点和Euler观点及其差别以及两种变量的相互转换；（理解、计算）②流体的加速度的定义、物理含义、计算；（理解、计算）③微商算符的物理实质及其应用。（理解、和应用）Vtdtd§3迹线和流线（概念、理解、计算）①迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质；（概念、理解）②迹线和流线方程求解的方法；（计算）③迹线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件（理解）§4速度分解（理解）①亥姆霍兹速度分解定理的主要内容及其有关计算。§5涡度、散度和形变率（概念、理解、计算）①涡度、散度和形变率的定义，物理含义；②涡度、散度和形变率的计算；③形变张量的概念。§6速度势函数和流函数（概念、理解）①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；③速度势函数、流函数表示二维流动。