流体力学-2-6+

大气流体力学大气科学学院，王伟上节回顾能量方程（能量守恒定律的应用）动能方程热流量方程伯努利方程理想流体均质流体不可压缩流体均质（匀）不可压缩流体定常流体定常不可压流体非均匀不可压缩流体广义牛顿粘性假设（应力张量与形变张量），牛顿粘性定律小微元，小体素法力学中的宏观普遍规律：……连续方程的不同变现形式，及各项的物理含义运动方程各项的物理含义不同前提下运动方程的表现形式动能方程，热流量方程的联系前述内容为研究流体运动做了那部分的工作？内容第一节连续方程第二节作用于流体上的力、应力张量第三节运动方程及其简化第四节能量方程第五节纳-斯托克斯方程的简单解①理论方法二、研究方法理论流体力学流体性质和流动特性的主要因素宏观物理模型或理论模型控制流体运动的闭合方程组流动问题转化为数学问题问题的求解物理规律数学2019年12月23日星期一6存在问题流体运动方程组通常为包含非线性项的微分方程所构成。由于数学上求解的困难，许多实际流动问题难以精确求解。wzpFzwwywvxwutwvypFzvwyvvxvutvuxpFzuwyuvxuutuzyx2221112019年12月23日星期一7第五节简单情况下的纳维—斯托克斯方程的准确解流体力学的基本方程组：运动方程连续方程0VtVpFdtVd21考虑流体为均匀不可压缩（=常数），且粘性系数为常数（=常数）的情况下，方程组是闭合的。,,,,,pwvu流体力学问题的一般方法，就是求解这样的闭合的方程组并使之适合应当的初始条件和边界条件。由于流体运动方程含有如平流加速度的非线性项，它是一个非线性方程组，在数学上要求解这样一个非线方程组是难以做到的。求解方程前，对初始条件和边界条件进行介绍。仅仅通过简单问题的求解－－了解基本方法当流体流经固体壁时，必须满足不可穿透条件和无滑脱条件。1、固体壁边界条件sTsnTnTvvvvVV，而当固体壁以速度运动时，则满足：00snvvV当固体壁静止时，满足：固体壁边界nvsvTV2、自由表面边界条件在自由表面上，两种流体质点在边界面上的法向分速应该相等，即：nIInIvvIInnInnpp0ppnn另外，如果不考虑表面张力（微观），两种流体质点在边界面上的法向应力应该相等，即:流体空气一、平面库托流动0,0wvuhhUuzx考虑如下简单流动，设流体在两相距为2h的无界平行平板间，沿x轴作定常直线平面运动，此时满足：0,0wvu考虑了xoz平面的运动，则。而作用于流点上的质量力只有重力，即：假设流体是不可压缩的：0/yugFFFzyx,00/zw0/xu)(zuu连续方程可见，即仅仅是z的函数。纳维—斯托克斯方程简化为：积分zpgypzuxp10101022)(1xpgzp如果运动是定常的：0/tu0///dtdwdtdvdtdu进而有：wzpFzwwywvxwutwvypFzvwyvvxvutvuxpFzuwyuvxuutuzyx222111方程第一式可以得到：221zuxp进一步考虑到上式左端项中的，它仅是x的函数；而其右端项仅为z的函数，如果上式成立，则该式左右两端应等于同一常数，积分上式可以得到：dxxdpxp//1BAzzxpu212)(1xpgzp考虑这样的简单情况，设在x方向的压力分布均匀，即：且上板均速U移动，故考虑如下边界条件：最终可以得到：0/xp0,,uhzUuhzhzUu12上式即给出了平面库托流动的流速分布，它表明流速沿z轴呈线性分布。BAzzxpu212二、平面泊稷叶流动0,0wvuhhuzx在平面库托流动的基础上，假定流体的固体边界条件与上述相同，但沿x方向的压力梯度不为零。而上、下板处于静止状态。此时，边界条件为：0/xp0,uhz2221zhxpu即为平面泊稷叶流动的流速分布，它表明流速沿z轴方向呈抛物线分布。将边界条件代入方程解式中，可以得到：BAzzxpu212例2-5-1：不可压粘性流体在静止的无界的平行平板间作定常直线运动，平行平板间的距离为2h，平板与水平面的夹角为，试求出其速度的分布。0,0wvuhhzx22)sin(21)(zhgxpzuzxxp1gsingcosg22sin10zugxp22)sin1(0zugxp2221zhxpu考虑粘性系数和密度均为常数的流体，在旋转角速度为的旋转坐标系中的运动，此时出现了科氏力的作用。而科氏力为：其中x方向的科氏力为而y方向的科氏力则为const,0wjviuVjuivVkF2221v2u2三、埃克曼流动假设流体作平面运动，该平面绕轴转动，则流速表示为：假设流体相对于旋转参考系无加速度，且无质量力作用，其运动方程为：wzpvypuuxpv22210120120考虑到垂直分速度为零：vuuv2222wzpvypuuxpv22210120120p与z无关进一步假设p与x，y无关（没有压力梯度力），方程变为：222222dzvdudzudv考虑u、v仅是z的函数，即满足：；则可得到如下关系式)(zuu)(zvv由以上二式所确定的流动即为埃克曼流动。科氏力粘性力埃克曼流动的求解：引进复速度，方程组可以变为：222222dzvdudzudvivudzdivui222ivudzdivui222ivudzdivui22)/(22)/(mivudzdivuim2222ivuW2222dzWdiWm2222dzWdiWmzimCzimCW22212exp2exp求解以上方程，并使之满足这样的边界条件：VvUuzvuz,,00,zimiVUivu1exp则可得：2222dzWdiWm通解zimCzimCW22212exp2expzimCzimCW)1(exp)1(exp21iVUC102CmzmzVmzUvmzmzVmzUuexpsincosexpsincos上式表明，在科氏力与粘性力相平衡的条件下，自海面向下，洋流速度逐渐减小，以至在很深的海底减弱消失，且流动方向自上而下绕轴呈顺时针旋转。最终有：当然，这里仅仅讨论了最简单的结果，埃克曼流动在海洋学和气象学的实际应用中要复杂的多。zimiVUivu1exp欧拉公式[VU①理论方法二、研究方法理论流体力学流体性质和流动特性的主要因素宏观物理模型或理论模型控制流体运动的闭合方程组流动问题转化为数学问题问题的求解物理规律数学2019年12月23日星期一31说明：以上通过讲述以上简单问题的求解，目的在于让大家了解求解流体运动的闭合方程组的一般思路：即根据条件，简化闭和方程组，然后进行求解。本章总结§1连续方程（理解、推导和应用）①拉格郎日(Lagrange)观点下的流体连续方程；②欧拉(Euler)观点下的流体连续方程；③自由表面的流体连续方程。§2作用于流体的力、应力张量（概念、理解和计算）①质量力和表面力的概念、定义、表示和差别；②应力张量；③广义的牛顿粘性假设。§3运动方程（理解、简单推导和应用）①流体运动方程的建立；②纳维——斯托可斯（Navier—Stokes）方程；③欧拉方程及其适用条件；④静力方程条件；§4能量方程（理解、简单应用）①动能方程；②热流量方程；③伯努利方程§5单情况下的纳维—斯托克斯方程的一些准确解（了解）①流体运动的初边条件简介；（知道）②单情况下的纳维—斯托克斯方程的求解方法：平面库托流动、平面泊稷叶流动、埃克曼流动。重点：连续方程、纳维—斯托克斯方程、能量方程的建立及物理意义；难点：应力张量的概念。