流体力学第2章.

第2章流体静力学静压强的特性静压强的分布规律作用面上总压力的计算静止流体中的应力具有两个特性。特性一：应力的方向沿作用面的内法线方向。静止流体中只存在压应力—压强。§2.1静止流体中应力的特性NNⅠⅡpnpτ§2.1静止流体中应力的特性特性二：静压强的大小与作用面方位无关。分析作用在四面体上的力。表面力：xPyPzPnP质量力：zyxXFddd61ΔBxzyxYFddd61ΔByzyxZFddd61ΔBz§2.1静止流体中应力的特性特性二：静压强的大小与作用面方位无关。由平衡条件，0xF有：0),cos(BxnxFxnPP以三角形BOC面积zyxnAAdd21),cos(nx除上式，得§2.1静止流体中应力的特性对上式取极限，其中0d31nnxxxXAPAPxxx0xlimpAPAnnn0nlimpAPA0)d31(lim0dxXx于是0nxPPnxPP同理，由00zy，，FF可得nznyPPPP，所以nzyxPPPP§2.1静止流体中应力的特性因为O点和法线的方向都是任选的，故静止流体内任一点上，压强的大小与作用面方位无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。各个方向的压强用同一符号p表示，p只是该点坐标的连续函数。1)-(2),,(zyxpp§2.1静止流体中应力的特性2.2.1流体平衡微分方程表面力：后面中心点的压强：xxppzyxxppd21),,2d(M前面中心点的压强：xxppzyxxppd21),,2d(N),,(),,(zyxppzyxO§2.2流体平衡微分方程xzyMdydzNO'2.2.1流体平衡微分方程表面力：§2.2流体平衡微分方程后面上的压力：zyxxppPdd)d21(M前面上的压力：zyxxppPdd)d21(N),,(),,(zyxppzyxOxzyMdydzNO'若函数f(x)在点x=x0的某一邻域内具有直到(n+1)阶的导数，则有n阶泰勒公式：200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxfONMppxfzyxpxfO0)()()(，，xxxMxxxNd21d2100点：，后面点：前面xxppxxpppd21)d21(M§2.2流体平衡微分方程2.2.1流体平衡微分方程质量力：§2.2流体平衡微分方程zyxXFdddBx由平衡条件，0xF有：0ddddd)d21(dd)d21(zyxXzyxxppzyxxpp),,(),,(zyxppzyxOxzyMdydzNO'2.2.1流体平衡微分方程§2.2流体平衡微分方程化简得01xpX同理，y、z方向可得01Yyp01zpZ（2-2）0ddddd)d21(dd)d21(zyxXzyxxppzyxxpp上式用一个向量方程表示3)-(201pf式中▽称哈米尔顿算子zkyjxi式（2-3）是液体平衡微分方程，又称为欧拉平衡微分方程。方程表明：在静止流体中，各点单位质量流体所受表面力和质量力相平衡。§2.2流体平衡微分方程01xpX01Yyp01zpZ对中的3个分式交叉求偏导数，可得4)-(2zXxZyZzYxYyX，，由曲线积分定理，上式是表达式Xdx+Ydy+Zdz为某一坐标函数U（x，y，z）的全微分之必要条件，即ddddzZyYxXU（2-5）§2.2流体平衡微分方程而zzUyyUxxUUdddd由此，得xUXyUYzUZ（2-6）满足上式的坐标函数U（x，y，z）称为力的势函数。§2.2流体平衡微分方程质量力有势是流体静止的必要条件，重力和惯性力都属有势力。2.2.2平衡微分方程的积分)ddd(dddzZyYxXzzpyypxxp上式等号左边是压强p（x，y，z)的全微分7)-(2)ddd(dzZyYxXp流体平衡微分方程的全微分式将式各分式分别乘以dx、dy、dz后相加，得到（2-2）§2.2流体平衡微分方程Updd积分，得cUp式中积分常数c可结合边界条件和已知条件确定。将式代入式（2-7），得到（2-5）§2.2流体平衡微分方程不可压缩流体在有势的质量力作用下才能静止，流体平衡微分方程有确定的解析解。2.2.3等压面压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）称为等压面，例如液体的自由表面。等压面的一个重要性质是，等压面与质量力正交。等压面上，p=常数0)ddd(dzZyYxXp密度ρ≠0，则等压面方程0dddzZyYxX§2.2流体平衡微分方程即0ddddBlfzZyYxX由此证明，等压面与质量力正交。当质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。§2.2流体平衡微分方程若重力之外，还有其它质量力作用，则知等压面非水平面。只有重力作用下的等压面应满足的条件：①静止；②连通；③连通的介质为同一均质流体；④质量力仅有重力；⑤同一水平面。§2.2流体平衡微分方程2.3.1流体静力学基本方程1.基本方程的两种表达式如图所示，液体中任一点的压强)ddd(dzZyYxXp质量力只有重力时zgpdd上式积分，得8)-(2cgzp§2.3重力场中流体静压强的分布规律代入上式，得X=Y=0，Z=－g由边界条件z=z0，p=p0，定出积分常数00gzpc§2.3重力场中流体静压强的分布规律代回原式，得)(00zzgpp9)-(20ghppgczgp10)-(2cgpz或以单位体积液体的重量除式（2-8）各项，得g式中p——静止液体内某点的压强；p0——液体表面压强，自由液面压强用pa表示；h——该点到液面的距离，称淹没深度；z——该点在坐标平面以上的高度。§2.3重力场中流体静压强的分布规律10)-(2cgpz9)-(20ghpp2.推论（1）静压强的大小与液体的体积无直接关系§2.3重力场中流体静压强的分布规律（2）两点的压强差，等于两点间单位面积垂直液柱的重量。液体内任意两点A、B的压强A0AghppB0BghppABABAB)(ghhhgpp§2.3重力场中流体静压强的分布规律或ABBAghppABABghpp（2-11）hABS=1（3）平衡状态下，液体内（包括边界上）任意点压强的变化，等值地传递到其它各点。液体内任意点的压强ABABghpp在平衡状态下，当A点的压强增加△p，则B点的压强变为12)-(2)()(BABAABABpppghpghppp——帕斯卡原理§2.3重力场中流体静压强的分布规律【例】水压机是由两个尺寸不同而彼此连通的圆筒以及置于筒内的一对活塞所组成，筒内充满着水或油。已知大小活塞的面积分别为A1、A2。若忽略两活塞的重量及其与圆筒摩阻的影响，当小活塞加力P1时，求大活塞所产生的力P2。【解】在P1作用下小活塞上产生的静水压强为11APp根据帕斯卡原理11222PAApAP§2.3重力场中流体静压强的分布规律2.3.3压强的度量1.绝对压强和相对压强绝对压强是以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强（pabs）。相对压强是以当地大气压为基准起算的压强（p）。18)-(2aabsppp§2.3重力场中流体静压强的分布规律1个标准大气压1atm=101325Pa1个工程大气压1at=98000Pa或1at=0.1MPa（1MPa=103kPa=106Pa）§2.3重力场中流体静压强的分布规律压强的单位有三种形式：①N/m2（Pa）或kN/m2（kPa）；②液柱高度（mH2O）（mmHg）；③以大气压表示。求1标准大气压的水柱高和水银柱高，（水柱）m33.108.91000101325gatmph（水银柱）760mmm76.08.913600101325gatmmph§2.3重力场中流体静压强的分布规律水体中某点压强产生8m的水柱高度，该点的相对压强为多少？相当于多少大气压？2N/m7840088.91000ghp大气压774.010132578400atmpp§2.3重力场中流体静压强的分布规律工程结构和工业设备都处在当地大气压的作用下，采用相对压强往往能使计算简化。PaPa开口容器可忽略大气压沿高度的变化，则液面下某点的相对压强等于19)-(2aaAghpghpp工业用的各种压力表，测得的压强是相对压强。2.真空度真空度是指绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值（pv）。20)-(2absavpppp§2.3重力场中流体静压强的分布规律【例2-1】立置在水池中的密封罩如图所示，试求罩内A、B、C三点的压强。【解】B点压强0BpA点压强Pa147005.18.91000ABABBAghghppC点压强Pa1960028.91000BCBCBCghghpp§2.3重力场中流体静压强的分布规律【解】B点压强0BpA点压强Pa147005.18.91000ABABBAghghppC点压强Pa1960028.91000BCBCBCghghpp§2.3重力场中流体静压强的分布规律C点真空度Pa19600Cvpp2.3.4测压管水头1.测压管高度、测压管水头静力学基本方程的另一种形式cgpz式中z——位置高度或位置水头。物理意义是单位重量液体具有的，相对于基准面的重力势能，简称势能。§2.3重力场中流体静压强的分布规律——测压管高度或压强水头。物理意义是单位重量液体具有的压强势能，简称压能。gp§2.3重力场中流体静压强的分布规律测压管pghp21)-(2pgph液体沿测压管上升的高度hp是可以用测压管直接量测的高度。gp§2.3重力场中流体静压强的分布规律——测压管水头。是单位重量液体具有的总势能。gpz静力学基本方程表示：静止液体中各点的测压管水头相等，测压管水头线是水平线。其物理意义是静止液体中各点单位重量液体具有的总势能相等。2.真空高度（当测点的绝对压强小于当地大气压时）槽内的液体沿玻璃管上升的高度hvavabsgphp22)-(2gvabsavgppphhv称为真空高度。§2.3重力场中流体静压强的分布规律测压管测压管是利用液柱高度表达压强的原理制成的简单的测量装置。§2.3重力场中流体静压强的分布规律测量较大压强或负压时，常采用压力表和真空表。金属测压计与真空计§2.3重力场中流体静压强的分布规律【例2-2】密闭容器，侧壁上方装有U形管水银测压计，读值hp=20cm。试求安装在水面下3.5m处的压力表读值。【解】容器内水面压强kPa66.262.08.96.130pp0ghp压力表读值kPa64.75.38.9166.260ghpp§2.3重力场中流体静压强的分布规律【例】如图所示水银测压计是一U形测压管，管内装有水银，求A点的压强。【解】NN为等压面，则在N-N面上U形管左边)(210NhhgppU形管右边mmNghp所以mm210)(ghhhgp§2.3重力场中流体静压强的分布规律)(21mm0hhgghp2mm121mm10A)(ghghghhhgghghpp§2.3重力场中流体静压强的分布规律【解】mm210)(ghhhgp则：【例2-3】用U形管水银压差计测量水管A、B两点的压强差。已知两测点的高差△z=0