流体力学课件-ch4.

流体力学主讲：孟祥铠第四章相似和量纲分析§4-1相似原理§4-2π定理和量纲分析的应用引言相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验的理论基础（包括科学的设计组织实验及整理实验结果）。工程流体力学实验的两种类型：1、工程性的模型实验——预测即将建造的大型机械或水工结构上的流体流动情况。2、探索性的观察实验——寻找未知的流动规律。指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者则要借助于量纲分析法。§4-1相似原理一、力学相似的基本概念力学相似——实物流动与模型流动在对应点上的对应（同名）物理量都应该具有固定的比例关系。几何相似力学相似运动相似动力相似1、几何相似——模型流动与实物流动有相似的边界形状，且一切对应的线性尺度成比例。§4-1相似原理一、力学相似的基本概念则:线性比例尺lll222lAllAA333lVllVV面积比例尺：体积比例尺：§4-1相似原理一、力学相似的基本概念2、运动相似——两个流动对应点、对应时刻的流动速度方向都一致，大小都成同一比例。则:速度比例尺:时间比例尺：加速度比例尺：流量比例尺：运动粘度比例尺：vvvvltvlvlttlvtvatvtvaa2vltlqtltlqq2333vltltl22§4-1相似原理一、力学相似的基本概念3、动力相似——两个流动在对应点上，对应瞬时，质点受到同种性质的外力作用，且对应的同名力方向相同，大小成同一比例。其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量纲由上述三个基本比例尺（l，v，）确定。则:密度比例尺:如：质量比例尺：力比例尺：3lmVVmmIIGGFFPPF上式中各同名力分别为压力P、粘性力F、重力G、惯性力I。§4-1相似原理一、力学相似的基本概念对于惯性力根据牛顿定律有：Ima故：压强比例尺：2223vllvlamFammaII2vAFpAPAP动力粘度比例尺：注意：⑴无量纲系数的比例尺:c1⑵单位质量重力的比例尺：g1vl整理得：或：定义：则：§4-1相似原理二、相似准则模型流动与实物流动力学相似，则必须满足动力相似。而动力相似又可以用相似准则的形式来表示。1、重力相似判据（弗劳德准则）流体所受重力为GmgVg即：l2v2l3gGGIIF弗劳德准则（重力相似判据）弗劳德相似准数lgvglv2212lgvFrglv2rFFr§4-1相似原理二、相似准则即：l2v2pl2PPIIF2、压力相似判据（欧拉准则）作用在流体上的压力PpA整理得：定义：则：EuEu欧拉准则(压力相似判椐)欧拉相似准数2221vpvpvp或：Euvp23、粘性力相似判据（雷诺判据）作用于流体上的粘性力即：§4-1相似原理二、相似准则dydvAFFFIIFlvlvl222雷诺相似准数11lvlvlvvlRevl定义：整理得：或：则：ReRe雷诺准则(粘性力相似判据)以上三个准则称为实际(粘性)不可压缩流体定常流动的力学相似准则。满足相似准则实质上意味着相似比例尺之间要保持下列三个互相制约的关系v2gl⑴vl⑵pv2⑶但这是有困难的。§4-1相似原理二、相似准则'''ReReFrFrEuEu§4-1相似原理二、相似准则如：由式⑴得：vl1/2（g1）由式⑵得：l1/2ll3/2上述关系很难满足。如：若两流动使用同一种介质，温度相同时：1由弗劳德准则有：vl1/2二者矛盾，不可能同时满足。由雷诺准则有：lv1§4-1相似原理三、近似模型法根据具体问题，抓住支配流动的主要矛盾，忽略次要因素，选择决定性相似准则（主要相似准则），设计模型实验（流动）。1、弗劳德准则用于水利工程及明渠等无压流动中。2、雷诺准则用于有压管流和大气中物体的运动等情况。3、欧拉准则用于管中流动、风洞试验及气体绕流等情况§4-2定理和量纲分析的应用量纲分析的目的是找出影响某一流动现象（过程）的各个变量（因素），把它们加以合理的组合，写成无量纲数的形式，从而把物理过程中各变量间的关系，概括地表示在由这些无量纲数组成的函数关系式中，同时指明实验方法，并使得实验中所需测量和处理的变量数减少。定理是广泛应用于量纲分析的一种方法。设影响某一个物理过程或某一物理现象N的k个因素(物理量、变量)为n1，n2，……，ni，……，nk，则此物理现象可用函数式表示为：若从这（k+1）个物理量中确定出三个物理量n1，n2，n3作为基本物理量，则这个物理现象可以用由（k+1）个物理量构成的（k+13）个无量纲参数i表达的函数关系式来描述。即：f(4，5，……，i，……，k)kinnnnfN,......,,......,,21§4-2定理和量纲分析的应用一、定理§4-2定理和量纲分析的应用一、定理三个基本物理量必须满足的要求：⑴基本物理量的量纲应该是各自独立的，且包含基本量纲M、L、T。⑵其余（k+13）个物理量的量纲都可以由这三个基本物理量的量纲表示（导出）。应用定理进行量纲分析的步骤：⑴找出影响流动(物理)现象(规律)N的全部k个物理量，将物理现象写成一般函数关系式：kinnnnfN,......,,......,,21§4-2定理和量纲分析的应用一、定理⑵从k个物理量中选出3个符合要求（包含不同基本量纲）的物理量作为基本物理量（一般选l、v、，分别包含长度、时间和质量）。⑶用这三个基本物理量的组合（通常是这三个变量指数乘积的形式）依次与其余的（k+13）个物理量中的任一个一起组成（k+13）个无量纲的项。即：zyxnnnN321iiizyxiinnnn321；式中：n1、n2、n3为基本物理量。i4,5,……,k⑷确定无量纲的项中的各指数，写出各变量的量纲，列出量纲关系式，依据量纲和谐性原理，比较各关系式等式两边基本量纲的因次（指数），列出代数方程式，解出各变量的指数xi、yi、zi，代入上述（k+13）个无量纲项。⑸将（k+1）个物理量之间的待求函数关系式改写成（k+13）个无量纲项之间的待求函数关系式：f(4，5，……，i，……，k)§4-2定理和量纲分析的应用一、定理伯金汉定理§4-2定理和量纲分析的应用一、定理应用量纲分析法，除可得到反映流动现象的具体函数关系式外，还可将独立变量的个数减少3个，从而大大地简化实验过程（因使所需测量和处理数据的变量数减少）。f(4，5，……，i，……，k)§4-2定理和量纲分析的应用二、量纲分析法的应用[例题4-4]管中流动的沿程水头损失根据实际观察知道，流体在水平等径直圆管中的流动，由于沿程粘性摩擦而造成的两点间的压强降（压强差）p与下列因素有关：管径d，两点间的管长l，管壁粗糙度，管内流体的密度，流体的动力粘度，以及管流的断面平均流速v，求p及hf表达式。解：⑴各变量（因素）与p的函数关系可以下式表示：p=f（d，v，，，l，）⑵上式中k=6，从中选出三个基本物理量d，v，按定理，这（k+1）个有量纲物理量之间的待求函数关系式就可转换成（k+13）个无量纲参数之间的待求函数关系式：f(4，5，6)§4-2定理和量纲分析的应用二、量纲分析法的应用⑶选用M，L，T为基本量纲。除三个基本物理量外，其余（k+13）=4个变量（导出物理量）p，，l，均可由三个基本物理量的指数乘积形式来表示6666zyxvdzyxvdp4444zyxvd5555zyxvdl§4-2定理和量纲分析的应用二、量纲分析法的应用⑷以上各式中xi，yi，zi为待定指数。写出每个物理量的量纲：将各含有无量纲参数的方程写成量纲关系式：0003121TLMMLLTLTMLzyx00031114444TLMMLLTLTMLzyx000315555TLMMLLTLLzyx000316666TLMMLLTLLzyx§4-2定理和量纲分析的应用二、量纲分析法的应用依据量纲和谐性原理,由第一式可得:M:1z=0L:x+y3z+1=0T:y2=0解此代数方程组得:x=0,y=2,z=1则:2vp又由上述第二式可得:M:1z4=0L:x4+y43z4+1=0T:y41=0解此代数方程组得:x4=1,y4=1,z4=1所以：Re14dvvd同样可得：dl5d6⑸将各值代入，前述无量纲参数之间的待求函数关系式变为：ddlfvp,,Re2§4-2定理和量纲分析的应用二、量纲分析法的应用所以：2,Re222vdldfvdlp最后写出沿程水头损失的函数关系式：gvdlgphf22达西公式df,Re式中：沿程阻力系数