集合与简易逻辑测试题

《集合与简易逻辑》测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是【】（A）若q则p（B）若p则q（C）若q则p（D）p且q2．已知集合4),(,2),(yxyxNyxyxM，那么集合NM为【】（A）1,3yx（B）)1,3(（C）1,3（D）)1,3(3．设集合{|12},{|}.MxxNxxaMN若,则实数a的取值范围是【】（A）]2,(（B）),1[（C）(－1,+∞)（D）(－∞,－1)4．“a＞b＞O”是“2ab＜a2+b2”成立的【】（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）不充分且不必要条件5．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a－5|}，,UMUMð={5，7}，则a的值为【】（A）2或－8（B）－8或－2（C）－2或8（D）2或86.若为全集,下面三个命题中真命题的个数是【】（1）若UBCACBAUU则,（2）若BCACUBAUU则,（3）若BABA，则（A）个（B）个（C）个（D）个7．函数f(x)的定义域是1,0,f(x2-1)的定义域是M,f(sinx)的定义域是N,则M∩N等于【】（A）(1,2]（B）[2,1)（C）M（D）N8．设,abR,若集合1{,}{,1,1}abab,则ab【】．（A）０或32（B）０（C）２或32（D）０或２9．定义集合运算：A⊙B=｛xyZZ|，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=｛cos,sin｝，则集合A⊙B的所有元素之和为【】（A）1（B）0（C）（D）cossin10.已知集合M=，，，，}13|{}3|{ZnnxxNZnnxx}13|{ZnnxxP，，且PcNbMa，，，设cbad，则【】（A）Pd（B）Md（C）Nd（D）PMd11.已知向量|1,23,4,MaaR，|2,24,5,NaaR，则NM【】（A）1,1（B）2,2,1,1（C）2,2（D）12．“a=1”是“函数()fxxa在区间[1,)上为增函数”的【】（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．已知命题：函数0.5()log(3)fxx定义域为(,3)；命题：若0k，则函数()khxx在(0,)上是减函数．有如下命题：①命题“且”为真；②命题“或非”为假；③命题“或”为假；④命题“非且非”为假．则其中错误的是.14．已知集合}0510|{2xaxxA中至少有一个元素,则的取值范围.15．若集合{,,lg()}{0,,||}xyxyyx,则228log()xy；16．若12121,,,,,,,,mmmnaaaAaaaaa，则集合A的个数为_______．三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．(本小题满分12分)已知)0(012:2|311:|22mmxxqxp，；¬是¬的必要不充分条件，求实数的取值范围．18．(本小题满分12分)已知集合2(,)|20,AxyxmxyxR，(,)|10,02Bxyxyx，若AB，求实数的取值范围．19．(本小题满分12分)设集合}4232/1{xxA，012322mmmxxxB.（1）当Zx时，求A的非空真子集的个数；（2）若B=，求m的取值范围；（3）若BA，求m的取值范围.20．(本小题满分12分)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,nSn)|n∈N*},B={(x,y)|41x2－y2=1,x,y∈R}.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A∩B至多有一个元素；(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠.21．(本小题满分12分)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.(1)求证：AB;(2)如果A={－1，3}，求B.22．(本小题满分14分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立．⑴函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由；⑵设函数f(x)=ax（a0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M；⑶若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围。参考答案一．选择题：1．C2．D3．B4．B5．D6．D7．A8．A9．B10．C11．C12．A答案提示：1．因原命题与逆否命题等价，故选C.2．由于两集合中的元素都是点（x,y）,两直线的交点为)1,3(，故选D.3．画出数轴,由图可知1a,选B.4．由于当a与b不同号时，2ab＜a2+b2也成立，故选B.5．由题意可得：|a－5|=3，解得a=2或8,选D.6．因为（1）()()()UUUUCACBCABCU;（2）()()()UUUUCACBCABCU;（3）证明：∵(),,AABA即A而,∴A;同理B,∴AB;故选D．7．由2011x解得M=(1,2][2,1)；由0sin1x解得N=()(2,2]kZkk，所以M∩N=(1,2]，故选A．8．若11b,得1b,矛盾;若1a,则1{1,}{,1,2}bb,若1bb,则1b（1b舍去）;若12b,得12b．故0ab或32，选A．9．根据题目所给集合定义可算得：A⊙B={sin,0,cos,sin,cos}，故选B10．由题意有：331313()2311dnlsnlsnlsN，选C．11．令1212342245（，）（，）（，）（，）得方程组12121324124252…………（）…………（）解得1210，故NM2,2．选Ｃ．12．函数()fxxa的图像如图所示，其单调增区间为[,)a．当a=1时，函数()fxxa在区间[1,)上为增函数，反之若函数()fxxa在区间[1,)上为增函数，则1a，故选A二．填空题：13．①②③14．≤515．3116．2nm答案提示：13．由30x，得3x，所以命题为真，则非为假；又由0k，易知函数()khxx在(0,)上是增函数，COayx1命题也为假，则非为真．所以命题“且”为假，命题“或非”为真，命题“或”为真，命题“非且非”为假．故答案为①②③．14．由题意，当中仅有一个元素时,0a,或100200a;当中有两个元素时,100200a，所以≤5．15．因为xy0,则1lg()01xyxyxy，于是1111{,,0}{0,,},yyyyyyyy且，解得y=-1,x=1,所以228log()xy81log23．16．集合A除了要有元素12,,,maaa这个元素外，还需有元素12,,mmnaaa这nm个元素中的0个或１个或２个…或（nm）个，所以集合A的个数为0122.nmnmnmnmnmnmCCCC三．解答题：17．解：由)0(01222mmxx，得)0(11mmxm，∴¬即A=)}0(11|{mmxmxx，或；由，2|311|x得102x，∴¬即B=}102|{xxx，或，∵¬是¬的必要不充分条件，且m0。∴AB，故121100mmm，，，且不等式组中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得m≥9为所求．18．法一：由22010xmxyxy得2(1)10xmx①∵AB，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，首先，由2(1)40m，解得：3m或1m．设方程①的两个根为、，（1）当3m时，由12(1)0xxm及121xx知、都是负数，不合题意；（2）当1m时，由12(1)0xxm及1210xx知、是互为倒数的两个正数，故、必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，综上所述，实数的取值范围为(,1]．法二：问题等价于方程组221yxmxyx在[0,2]上有解，即2(1)10xmx在[0,2]上有解，令2()(1)1fxxmx，则由(0)1f知抛物线()yfx过点(0,1)，∴抛物线()yfx在[0,2]上与轴有交点等价于2(2)22(1)10fm①或22(1)401022(2)22(1)10mmfm②由①得32m，由②得312m，∴实数的取值范围为(,1]．19．解：A=52xx，集合B可写为0)12)(1(mxmxxB.(1）,2,1,0,1,2,3,4,5xZA,即A中含有8个元素，A的非空真子集数为254228（个）；(2)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=；(3)当B=即m=-2时，AB.当B即2m时（ⅰ）当m-2时，B=(2m-1,m+1),要AB，只要62351212mmm，所以m的值不存在；（ⅱ）当m-2时,B=（m-1,2m+1）,要AB，只要2151221mmm.综合，知m的取值范围是：{m︱m=-2或12m}.20．解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn=2)(1naan,则21nSn(a1+an),这表明点(an,nSn）的坐标适合方程y21(x+a1),于是点(an,nSn)均在直线y=21x+21a1上.(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组1412121221yxaxy的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=12124aa,此时，方程组也只有一解1211214424aayaay,故上述方程组至多有一解.∴A∩B至多有一个元素.(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n0,nSn0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=5224121aa＜0,y0=43201xa＜0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.21．解：(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得313)1(),1(31qpqp∴f(x)=x2－x－3.于是集合B的元素