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《直线与圆的位置关系》教学设计山东省福山第一中学赵檑一教材分析：（一）、教材的地位和作用：教材：普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）人民教育出版社出版《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系。同时为后续学习空间直角坐标系，实现空间形式与数量关系的结合作了铺垫。因此,本节课在本章中起着承前启后的作用。本节内容共一个课时，教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识。（二）、《直线与圆的位置关系》的主要结构：直线和圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆方程的应用（三）教学重点、难点：重点：运用坐标法探究直线与圆的位置关系，结合几何图形，将直线与圆的位置关系转化为点（圆心）到直线的距离d与半径r的关系，进一步体会“数形结合”这一重要数学思想。突出重点的方法：i、让学生充分的参与，互相讨论交流；ii、采用“数形”结合，借助图片和多媒体展现直线和圆的位置关系；iii、多层次练习，通过循环反复、螺旋递进的方式进行练习，使学生在练习中体会直线和圆的位置关系从而完成对教学重点的突出。难点：⑴把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型;⑵对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系的方法的理解。如何突破难点：i、充分复习直线和圆有关基础知识；ii、认真梳理好讲解的顺序；iii、利用多媒体、实物教具等手段。二目标分析：1．知识与技能目标⑴在教师引导下，能将直线与圆的位置关系的实际问题坐标化，进一步培养学生“用数学”的意识；⑵能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，通过观察、验证、推理与交流等数学活动，找到判断直线与圆的位置关系的一般方法；⑶能利用直线与圆的位置关系解决有关的简单问题，提升学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．2．过程与方法目标⑴经历理论与实际的联系，提升学生的数学建模能力，培养学生运用“数形结合”与“方程”的思想解决问题的意识；⑵经历探索判断直线与圆的位置关系的过程，使学生参与数学实践；⑶通过多媒体动画演示，培养学生用运动变化的观点分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观:⑴让学生主动参与用坐标法探求直线与圆的位置关系的过程，使学生感受成功的喜悦；⑵通过学生的自主探究、小组合作讨论，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯。三教法、学法：1、教法：教师是课堂活动的设计者、组织者、引导者、合作者，以问题为载体，活动问主线，采用直观教学法、启导发现法。在教学中，通过创设问题情境，充分调动学生学习的主动性，并引导启发学生动眼、动脑、动手。同时采用多媒体的教学手段，加强直观性和启发性，增大课堂容量，提高课堂效率。2、学法：交流合作探究的学习方式。波利亚曾说过“学习任何知识的最佳途径都是由自己发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系。”根据本节课特点及学生的认知心理，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、通过自己的观察，想象，思考，实践，主动发现规律、获得知识，体验成功。四过程分析：教学基本流程：情境设置，铺垫导入切入主题，提出课题探索研究，解决问题新知应用，深化理解总结提高，形成方法课后作业，巩固提高。五教学过程：1．问题情境：教师利用多媒体展示如下问题：问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【设计意图】：让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课。师：你怎么判断轮船受不受影响？生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交。师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系。学生解决方法一：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为港口位置，在OAB中，O到AB的距离=，因此b不受影响。2．揭示课题——直线与圆的位置关系问题2．前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题。请问，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？【设计意图】：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象。直线与圆的位置关系公共点个数与的关系图形相交两个相切一个相离没有3．直线与圆位置关系的判断问题3：方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？【设计意图】：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法．师生活动：通过教师追问，引起学生思考。师：要求圆与直线的方程，首先要建立坐标？那如何建立坐标？生：以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系。师：（追问）坐标系还可以有其他建法吗？生：以港口所在位置为原点，……以轮船所在位置为原点。（选择一种，师生共同完成）方法二：如图，以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度。则台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为，圆心O（0，0），半径5，轮船航线所在的直线的方程为，，直线与圆相交。问题4：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系（称此法为“法”）。请问用“法”的一般步骤如何？【设计意图】：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想。师生活动：教师引导学生分析归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径；（3）求出圆心到直线的距离;（4）比较与的大小，确定直线与圆的位置关系。①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交。问题5：对于平面直角坐标系中的直线和，联立方程组，我们有如下一些结论：①与相交，方程组有唯一解；②与平行，方程组无解；③与平行，方程组有无穷组解。你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗？【设计意图】：让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，回顾坐标法思想的重要作用，并通过类比，使学生获得用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论，抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法。师生活动：教师提出问题，引导学生得出：联立方程组，我们有如下一些结论：①圆与直线相切，方程组有唯一解；②圆与直线相交，方程组有两组解；③圆与直线相离，方程组有无解。方法三：联立方程组，消去，得，因为。所以，方程组有两组解，直线与圆相交。问题6：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何？【设计意图】：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想。师生活动：教师引导学生分析、归纳：（1）将直线方程与圆方程联立成方程组；（2）通过消元，得到一个一元二次方程；（3）求出其判别式△的值；（4）判断△的符号：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离。问题7：我们研究了判断直线与圆的位置关系的方法，可以用平面几何知识定性刻画，也可以用解析几何的知识，根据直线与圆的方程来刻画。如果要求轮船在哪个具体位置开始受到台风影响，如何刻画？【设计意图】：体验平面几何与解析几何的各自解法，平面几何可以定性刻画，解析几何可以精确刻画，体验坐标法的优越性。师生活动：教师引导，师生共同解决。生：求出交点，就是开始受影响的位置。解出：x=3,y=4或x=4,y=3。即，在台风中心的东30，偏北40处，开始受到影响。师：一般来说，平面几何可以定性的刻画直线与圆的位置关系，但在精确刻画它们位置关系时，解析几何就显得“得心应手”，显示出它的优越性。4．例题示范例1如图，已知直线：和圆心为的圆，（1）判断直线与圆的位置关系；（2）如果相交，求它们交点的坐标。【设计意图】：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系，使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论。师生活动：教师引导学生分析解答。分析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系，判断直线与圆的位置关系。问题8在判断直线与圆的位置关系的不同方法中，你选择哪一种？【设计意图】：两种方法的选择，体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法。师生活动：学生讨论选择。5．弦长问题例1变式：求弦AB的长度。【设计意图】：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法。师生活动：学生思考解决，可能有两种方法：方法一：因为两个交点坐标分别是，所以用两点距离公式．方法二：构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长。例题2：已知过点M（－3，－3）的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程。生：先独立解决，然后看课本，规范解题。师：设直线方程为，它的前提是斜率存在。对于斜率不存在的情况用几何画板演示。（答案为：x＋2y＋9＝0，或2x－y＋3＝0）六课堂小结：问题9判断直线与圆的位置关系有哪些方法?问题10当直线与圆相交时,如何求弦长?数学思想方法：渗透数形结合思想、方程的数学思想，运动变化观点的运用．【设计意图】：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力．由学生回顾本节课主要内容，并进行归纳总结．知识性内容的小结能将传授知识转化为学生的内在素质，数学思想方法的小结能让学生从更高层次上思考问题．这个过程，既培养了学生的语言表达能力和思维的严谨性，又有利于学生构建完整的知识体系，养成良好的学习习惯。师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？七课后作业：【设计意图】：布置作业层次化。在教完一个概念、一节内容后，学生要通过做练习来巩固和提高，因此课后布置多层次习题是分层次教学不可缺少的环节。课后作业一刀切，往往使A组学生吃不消，C组学生吃不饱。为此根据不同层次学生的学习能力，布置不同的课后作业，一般可分为三个层次：A层是基础性作业（课后练习），B层以基础性为主，同时配有少量略有提高的题目（课后习题），C层是基础性作业和有一定灵活、综合性的题目（课后复习题）各半。必做：A组1．判断直线与圆的位置关系，如果有交点，求出交点坐标。2．求圆被直线所截得的弦长。选作：B组3．已知直线：和圆：，当实数取何值时，直线与圆相交？相切？相离？探究：C组4.圆x2+y2=4上有多少个点,到直线3x+4y-10=0的距离为1？八教学反思：教育心理学家格里诺提出：“情境是一切认知活动的基础”。在教学过程中，合理有效的情境不仅能让学生产生强烈的情感共鸣，激励学生产生强烈的求知欲望，而且还能充分暴露思维过程。如何创设有效的情境？可从以下三方面考虑：1、应杜绝重形式不求实质的数学情境化设计。情境设置应该是与学习内容紧密相关的，体现数学本质的，意在引发学生思考的东西，而不是那些脱离学生实际的或远离数学本质的东西。那些贴标签式的、主观生造与实际相悖的情境设计不是数学课堂需要的。此外，以现实背景为素材的情境设置也需要根据实际情况而定，并不是所有的知识点都需要。2、有效的矛盾型问题情境：教师利用新旧知识的矛盾、直观表象与客观事实之间的矛盾、生活经验与科学知识之间的矛盾，创设一些似是而非或似非而是的矛盾型问题情境。把矛盾型问题情境设置在关键处，让疑惑紧扣学生心弦，让认知冲突触发思维灵感。3、开放性的问题情境：开放性问题通常是改变结构，改变设问方式，增强问题