直线与抛物线的位置关系学案

直线与抛物线的位置关系学案学习目标：1、通过问题探究、动画演示，理解并掌握抛物线过焦点的弦的相关问题，如焦点弦长的计算、焦点弦与准线的关系、与焦点弦相关的定点、定值问题。2、理解直线与抛物线的位置关系，并思考该问题的研究与前面椭圆、双曲线问题研究的异同。掌握研究直线与圆锥曲线问题的研究方法：坐标法、数形结合法等。学法指导：在理解抛物线定义的基础上，理解并掌握抛物线中过焦点的弦长公式；类比直线与椭圆、双曲线问题的研究方法，能通过直线方程与抛物线方程来研究直线与抛物线位置关系问题。在学习过程中注意结合直线与抛物线的图形解决问题，体会数形结合法的益处。并思考直线与抛物线问题的研究和椭圆、双曲线中的研究有何联系与区别。学习内容：问题一：抛物线的过焦点的弦问题研究例1、过抛物线)0(22ppxy的焦点F的直线l交抛物线于),(),(2211yxByxA、两点。（1）求弦长|AB|；（2）若直线l的倾斜角为，求证：2sin2||pAB；（3）求证：||1||1BFAF为定值，并求出这个定值；（4）求弦AB的中点M到准线的距离；（5）求证：以AB为直径的圆与准线相切；（6）若A、B在准线上的射影分别为E、D，判断以DE为直径的圆与直线l的位置关系，以及该圆与焦点F的位置关系；（7）B在准线上的射影分别为D，求证：A、O、D三点共线；（8）命题（7）的逆命题是否成立？xyxy思考：请继续探索焦点在其他位置时，这些结论会有些什么变化？二、直线与抛物线位置关系研究例2已知抛物线xy42，直线l过点P(-2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线xy42：（1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点。思考：1、请结合图形理解上述各种位置关系，反思与椭圆、双曲线的异同；2、进一步思考方程组的解与公共点之间的关系。变式：（1）若斜率31k，求弦长|AB|；（2）过点P(-2,1)且与抛物线xy42有且只有一个公共点的直线有条。（3）当斜率k=1时，抛物线上的点到直线l距离的最小值为，该点坐标为。变式：若直线l交抛物线xy42于),(),(2211yxByxA、两点，且OBOA，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标。探讨：若将抛物线方程改为一般形式的)0(22ppxy，结论又会如何？