直线与直线平行与垂直的条件

复习引入：直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式kyxP),,(111)(11xxkyy存在k斜截式bk，bkxy存在k两点式),(11yx（),22yx121121xxxxyyyy2121,yyxx截距式ba,1byax0,0ba一般式A、B、CR0CByAx022BA1．特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直新疆学案王新敞2．斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l和2l的斜率为1k和2k，它们的方程分别是：1l：11bxky；2l：22bxky．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征新疆学案王新敞⑴两条直线平行(不重合)的情形．如图，从位置关系、倾斜角、斜率的定义、正切函数的性质分析，得以下结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//ll1k=2k且21bb新疆学案王新敞要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．例1两条直线1l：0742yx，2l：052yx．求证：1l∥2l例2求过点)4,1(A且与直线0532yx平行的直线方程．（两种方法）注意：①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线0CByAx中系数A、Bl2l121xOy甲l2l121xOy乙l2l121xOy丙l2l121xOy确定直线的斜率，因此，与直线0CByAx平行的直线方程可设为)(0CByAx，其中待定新疆学案王新敞（直线系）例3求与直线0532yx平行，且在两坐标轴上的截距之和为65的直线的方程．⑵两条直线垂直的情形：则直线的位置关系如上三种：设直线1l和2l的倾斜角分别是21,，斜率分别是1k和2k。分别用倾斜角的关系及向量的关系推导，得以下结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即21ll211kk121kk新疆学案王新敞要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．例4已知直线03)1()2(yaxa与02)32()1(yaxa互相垂直，求a的值．例5求过点)1,2(A，且与直线0102yx垂直的直线l的方程．注意：①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；②解法二是常常采用的解题技巧：一般地，由于与直线0CByAx垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为0AyBx，这是常常用到的解题技巧（直线系方程）思考1：已知直线1l、2l的方程为1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA)0,0(222111CBACBA求证：1l∥2l的充要条件是212121CCBBAA新疆学案王新敞思考2：已知直线1l和2l的一般式方程为1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA，则1l2l02121BBAA新疆学案王新敞思考3：已知直线1l、2l的方程为1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA)0,0(222111CBACBA当直线21,ll不平行时，则它们的交点如何去求？思考4：在同一平面内有两点A（1x，1y），B（2x，2y），则这两点的距离可以表示成什么？思考5：在同一平面内有两点1P（1x，1y），2P（2x，2y），这两点的中点M（0x，0y），则00yx