高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为ACyxBB，它表示过点0,CB，斜率为AB的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是11022xy，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y―y1=k(x―x1)（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式112121yyxxyyxx（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式1xyaba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0（A2+B2≠0）A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:bxkyl,222:bxkyl,12121212//()llkkbb；12121211221tancot12llkkkk于是与直线ykxb平行的直线可以设为1ykxb；垂直的直线可以设为21yxbk．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0lAxByClAxByC1212120llAABB121221//0llABAB且12210ACAC或12210BCBC，记忆式（111222ABCABC）1l与2l重合，12210ABAB，12210ACAC，12210BCBC于是与直线0AxByC平行的直线可以设为0AxByD；垂直的直线可以设为0BxAyD.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12，经过点A（8，―2）；（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）．【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）10xy【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2yx，化成一般式得x+2y―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．（3）由截距式得1332xy，化成一般式得2x―y―3=0．（4）由两点式得234(2)53yx，化成一般式方程为10xy．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l经过点(3,1)B，且倾斜角是30，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】31(3)3yx333330xy【解析】因为直线倾斜角是30，所以直线的斜率3tantan303k，所以直线的点斜式方程为：31(3)3yx，化成一般式方程为：333330xy.例2．ABC的一个顶点为(1,4)A，B、C的平分线在直线10y和10xy上，求直线BC的方程.【答案】230xy【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A点关于B的平分线的对称点'A在BC上，B点关于C的平分线的对称点'B也在BC上．写出直线''AB的方程，即为直线BC的方程.例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l的方程．【答案】3x+4y―11=0【解析】解法一：设直线l的斜率为k，∵l与直线3x+4y+1=0平行，∴34k．又∵l经过点（1，2），可得所求直线方程为32(1)4yx，即3x+4y―11=0．解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0，∵l经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．∴所求直线方程为3x+4y―11=0．【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．（2）一般地，经过点A（x0，y0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x0)+B(y―y0)=0．（3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx―Ay+m=0（A，B不同时为零）．举一反三：【变式1】已知直线1l：3mx+8y+3m-10=0和2l：x+6my-4=0.问m为何值时:（1）1l与2l平行（2）1l与2l垂直.【答案】（1）23m（2）0m【解析】当0m时，1l：8y-10=0；2l：x-4=0，12ll当0m时，1l：310388mmyx；2l：1466yxmm由3186mm，得23m，由103486mm得2833m或而31()()186mm无解综上所述（1）23m，1l与2l平行．（2）0m，1l与2l垂直．【变式2】求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线l的方程．【答案】x－2y=0【解析】因为直线l与直线2x+y―10=0垂直，可设直线l的方程为20xym，把点A（2，1）代入直线l的方程得：0m，所以直线l的方程为：x－2y=0．类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4．已知直线l的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可．【答案】334yx或334yx【解析】解法一：设l的倾斜角为，由3sin5，得3tan4．设l的方程为34yxb，令y=0，得43xb．∴直线l与x轴、y轴的交点分别为4,03b，（0，b）．∴2142||6233Sbbb，即b2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334yx或334yx．解法二：设直线l的方程为1xyab，倾斜角为，由3sin5，得3tan4．∴1||||6234abba，解得43ab．故所求的直线方程为143xy或143xy．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．举一反三：【变式1】（2015春启东市期中）已知直线m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0．（1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．【思路点拨】（1）求过两直线m，n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（1）x+2y―4=0；（2）【解析】（1）由23030xyxy，解得21xy，即两直线m，n交点坐标为（2，1），设与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程为x+2y+c=0，则2+2×1+c=0，解得c=―4，则对应的直线方程为x+2y―4=0；（2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0），则对应的直线方程为y―1=k(x―2)，令x=0，y=1―2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1―2k）令y=0，则1212kxkk，即与x轴的交点坐标为21(,0)kBk，则△AOB的面积121|||12|42kSkk，即2(21)8kk，即244810kkk，若k＞0，则方程等价为241210kk，解得3222k或3222k，若k＜0，则方程等价为24410kk，解得12k．综上直线的方程为11(2)2yx，或3221(2)2yx，或3221(2)2yx即122yx，或3222222yx，或3222222yx类型三：直线方程的实际应用例6．（2015春湖北期末）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．【思路点拨】求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的路线长．【答案】41【解析】设点A关于l的对称点A＇（x0，y0），∵AA＇被l垂直平分，∴0000231022312xyyx，解得0043xy∵点A＇（―4，―3），B（1，1）在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为341314yx，即4x―5y+1=0，解方程组451010xyxy得入射点的坐标为21(,)33．由入射点及点A的坐标得入射光线方程为1233123233