直线和平面所成的角教案使用

实验中学高二数学教案课题：直线和平面所成的角教学目标：（1）知识与技能：①学生理解直线和平面所成的角定义及定义的合理性.②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤.（2）过程与方法：培养学生的概括能力和探索创新能力.（3）情感态度价值观：学生进一步内化化归的数学思想方法.教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成.（2）求直线和平面所成的角的方法步骤.教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤教学方法：问题探索法及启发式讲授法教具：多媒体及传统教具教学过程：一、复习提问一）直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内（2）直线和平面平行（3）直线和平面相交二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：二、问题引入：直观感觉你认为当直线和平面垂直时直线和平面的夹角是多大呢？当直线和平面平行时呢？直线在平面内呢？如图，怎样刻画不同斜线1l与2l相对同一平面的位置呢？三、探究新知：（一）直线与平面的夹角定义POAOA2l1l实验中学高二数学教案2规定：如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为90°.如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0°.一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。剖析定义：将空间角转化为平面角。线面角----------线线角（二）取值范围直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°]斜线和平面所成角的取值范围是（0°，90°）思考：平面的斜线与平面的夹角，以及这条斜线和这个平面内任一直线所成的角大小关系如何？.（几何画板最小角定理演示）猜想：平面的斜线与平面的夹角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.证明猜想：如图，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B是垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影。设OM是α内通过点O的任一直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，下面我们用向量的运算来研究θ，θ1，θ2之间的关系。猜想：1在直线OM上取单位向量m，则BAm，即0BAm，因为OAOBBA，所以OAmOBmBAm，因此OAmOBm，即2||cos||cosOAOB，得2||coscos||OBOA，21mMBOA实验中学高二数学教案3DC1A1B1C1DBCAD又因为1||cos||OBOA，所以12coscoscos。因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1.因为θ和θ1都是锐角或直角，所以θ1≤θ.（三）最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.如何直线和平面的夹角呢？四、例题精讲：例1.在单位正方体1111ABCDABCD中，（1）求直线1BD与平面ABCD所成的角.（2）求直线11AC与截面11ABCD所成的角解：（1）由正方体的性质可知，1DDABCD平面，所以1BD在平面ABCD内的射影为BD.由直线和平面所成角的定义可得，1DBD为1BD与平面ABCD所成的角在1RtDBD中，12tan2DBD，所以直线1BD与平面ABCD所成的角为2arctan2..（2）过1A作11AOCO交1AD于点O，易知：111AOABCD截面，所以1OC为直线11AC在平面11ABCD内的射影.由直线和平面所成角的定义，所以11ACO即为直线11AC与截面11ABCD所成的角.在11ACO中，可知1130ACO.实验中学高二数学教案4思考：,设平面的法向量为，则与的关系？nnBA结论：探究：尝试用向量法求解例1。向量法：解：（1）在单位正方体1111ABCDABCD中以D为坐标原点建立空间直角坐标系[O;1,,DADCDD]。由已知可得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),1D(0,0,1),B(1,1,0)1DD=(0,0,1)1BD=(-1,-1,1)1DD是平面ABCD的法向量，1BD是直线1BD的方向向量。设直线1BD与平面ABCD所成的角为则sin=|cos1DD,1BD|=|1111||||DDBDDDBD|=33所以直线1BD与平面ABCD所成的角为arcsin33.DC1A1B1C1DBCAD实验中学高二数学教案5(2)在单位正方体1111ABCDABCD中以D为坐标原点建立空间直角坐标系[O;1,,DADCDD]。由已知可得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),1D(0,0,1),B(1,1,0)1A(1,0,1)1C(0,1,1)1AD=(-1,0,1)AB=(0,1,0)11AC=(-1,1,0)设平面11ABCD的法向量为n=（x,y,z）则n.1AD=0,n.AB=0所以x+z=0y=0令x=1,则n=（1，0，-1）cosn,11AC=12所以直线11AC与截面11ABCD所成角的正弦值为12，因为直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°]所以直线11AC与截面11ABCD所成角为30°（四）直线和平面所成角的求法1.定义法：①找（作）②证（指）③求④答2.向量法：①建系②求（法向量）③求（角）④答五、巩固练习：1.在正方体ABCD-1111CABD中，求（1）11CA与面ABCD所成的角；（2）11CA与面11BBDD所成的角；（3）11CA与面11BBCC所成的角；（4）11CA与面11ABCD所成的角。(5)111.BCABC求与面所成的角实验中学高二数学教案6OAB2设线段ABl，直线AB与平面所成的角为，求线段AB在平面内的射影长：（1）6,3l；（2）10,0l；（3）8,2l.重要结论：一般的地向量11AB在平面内的射影为11AB且直线AB与平面的夹角为θ，则|11AB|=|AB|cosθ高考链接2009北京文16．（本小题共14分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AECPDB平面；w.w.w.zxxk.c.o.m（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PDABCD底面，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AECPDB平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，12OEPD，又∵PDABCD底面，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，1222OEPDABAO，实验中学高二数学教案7∴45AOE，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设,,ABaPDh则,0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,AaBaaCaDPh，（Ⅰ）∵,,0,0,0,,,,0ACaaDPhDBaa，∴0,0ACDPACDB，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面AECPDB平面.（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，1120,0,2,,,222PaEaaa，设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∵1122,,,0,0,2222EAaaaEOa，∴2cos2EAEOAEOEAEO，∴45AOE，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.六、课堂小结：(一）直线和平面所成角的定义.(二)最小角定理（三）直线和平面所成角的求法1.定义法：①找（作）②证（指）③求④答2.向量法：①建系②求（法向量）③求（角）④答