直线斜率公式在解题中的应用(已修改)

1浅谈直线斜率公式在解题中的应用数学组蒋世军直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等------都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。下面就问题举例说明：一、求直线的倾斜角例1：已知直线l1经过两点A(－23，1)、B(6，－3)，直线l2的斜率为直线l1的斜率的一半，求直线l2的倾斜角θ.分析：先利用过两点的斜率公式求l1的斜率，再求得l2的斜率，从而求得θ.解：设直线l1、l2的斜率斜率分别为k1、k2，则由已知可求得k1＝－23－61－(－3)＝－23，∴k2＝－3，即tanθ＝－3，∵θ∈[0，＋∞)，所以θ＝120.点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用.根据斜率求倾斜角时，在tanθ＝k中，θ的取值与k的正负有关，当k≥0时，θ＝arctank，当k＜0时，θ＝π＋arctank，另外要注意斜率不存在时，直线的倾斜角为90.二、证三点共线例2：求证：A(1，3)、B（5，7）、C（10，12）三点在同一条直线上。分析：要证A、B、C三点共线，只需证直线AB,AC的斜率相等。证明：∵11537ABK1110312ACK∴ACABKK又∵直线AB,AC有共同的端点A。∴A、B、C三点在同一条直线上。例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P、Q两点，自Q点向抛物线的准线作垂线，垂足为'Q，求证：P'Q过抛物线的顶点。证明：设抛物线方程为y=2px(p0)，则焦点F的坐标为（0,2p），准线方程为x=-2P,可设过焦点F的直线方程为x=my+2P解方程组222pmyxpxy0222ppmxy解得pmmy)1(21pmmy)1(222pxOQyF(2p,0)xPQ12将得代入抛物线方程pxyyy2,221pmmx2)1(221pmmx2)1(222所以P))1(,2)1((222pmmpmm))1(,2(21pmmpQ因此)1(22'mmkkoQop所以P、O、Q三点共线。即直线P'Q过抛物线的顶点O点。评注：两直线AB、AC的斜率相等A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线两直线AB、AC的斜率相等（斜率存在）或都不存在。三、求函数的值域（最值）例4：求函数2cos1sin5y的值域。解：若将y看成是动点M（cos，sin5）和定点A（-2，-1）连线的斜率，问题就变得较简单。不妨设x=cos，y=sin5消去得1522xy（如右图）当MA与椭圆相切时，得出斜率的最大值与最小值。令切线的斜率为k，则切线的方程为：)2(1xky将其方程与椭圆方程消去y得：0444)24()5(2222kkxkkxk（*）因此该方程的判别式)444)(5(4)24(2222kkkkk08080602kk解得2,3221kk所以函数2cos1sin5y的值域是2,32。四、不等式证明和解不等式中的应用例5：已知a、b、m都是正数，并且ba求证：bambma（旧人教版第二册6.3节12P例2）PxyQOy=xAxMyM0M3分析：对问题我们可以把mbma看成是经过P（b，a），Q（-m，-m）两点的直线的斜率。即mbmakPQ，把ba看成是经过点P（b，a）、o（0,0）两点的直线的斜率。即babakpo00。（如图）证明：如图，ba0点P（b，a）在第一象限且必在直线y=x的下方，又因为m0，所以点Q（-m，-m)在第三象限且必在直线y=x上，连结OP、PM，则直线OP的斜率为ba，直线PQ的斜率为mbma；因为直线PQ的倾斜角大于直线OP的倾斜角。所以bambma。例6：关于x的不等式)2(12xax的解集为R。求a的取值范围。分析：令121xy为斜率k1=2直线方程，)2(2xay是过点A（2,0）且斜率k2=a的直线方程。由于不等式)2(12xax的解集为R。即xR时，y12y只能有k1=k2即a=2。解:略。五、比较大小例7：若55ln,33ln,22lncba，则（）A.B.C.D.（05年全国高考）解：因为00lnlnxxxx，表示函数xyln的图象上的点（x，y）与坐标原点O连线的斜率，如图，则OAkaOBkbOCkC由图象可知：OBOAOCkkk即，选C。说明：也可以考察函数xxyln的单调性，即利用它的导数来严格求解，但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线xyln上的点与原点的直线的斜率，问题便可直观、简捷地解出，但图形须相对准确。总之，对直线斜率公式的应用比较广泛，仅从以上例题可以看出，运用直线斜率公式解决某些数学问题方便简捷。2012年3月20日