直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用

21直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用定点问题是解析几何研究的重要问题之一，是动中有静的辩证思想在数学中的重要体现，也是高考数学科解析几何命题的重要内容之一，也无疑是高中数学教学的难点所在.为此，寻求对此类问题有效的解法势在必然.诚然,解决此类具体问题的解法多样灵活,但在的教学实践中，多样的解法时常带给学生的困惑是如何作出切实可行的选择?笔者认为,直线的斜截式方程“y=kx+b”能有效地解决这一类问题，达到多题一解之目的.以下例析，供参考.原理分析：利用“y=kx+b”研究定点问题的关键在于k,b线性关系的寻求,通常将b表示成k的线性关系即可，如b=pk+q（其中p，q为常数），由此可得直线y=kx+b必过定点（-p，q）.例1：已知C(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上的一个定点,A(x1,y1)、B(x2,y2)为其上的的任意两点,CA⊥CB.求证:直线AB过定点(2p+x0,-y0).证明：（1）当AB⊥x轴时，A(2p+x0,2204py)，B(2p+x0,-2204py)，此时，CA=(2p,2204py-y0)，CB=(2p,-2204py-y0)，CACB=222200440pypy,所以，CA⊥CB.反之亦然；（2）当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=kx+b(k≠0)，则2,2.ykxbypx消去y，得222(22)0kxkbpxb,消去x，得2220kypypb，在直线y=kx+b与抛物线相交的前提下，则12222kbpxxk，2122bxxk，122pyyk，122pbyyk，由1010(,)CAxxyy，2020(,)CBxxyy，CACB=10201020()()()()xxxxyyyy=22120120120120()()xxxxxxyyyyyy=2220000222222bkbppbpxxyykkkk=0，化简并整理，得222220000022220bkbxpxkxpbkpkyky，……①以b为主元整理，得2222200000(22)22bkxpkbkxpxpkyky，配方，得22222222220000000[()]222bkxpkkxpxpkykykxpkpkx，又因为2002ypx，所以，222220000[()]2()bkxpkypkypkypk，……②则00()()bkxpkypk，当00()bkxpkypk时，00bkxy，此时00()yykxx，不合题意；当00()()bkxpkypk时，002bkxypk，此时0000(2)(2)ykxkxypkkxxpy，即00[(2)]yykxxp，所以直线AB过点(2p+x0,-y0).综上，直线AB过定点(2p+x0,-y0).解题感悟：客观的讲，进行至②式，对k,b关系的揭示有些看不清，没有好的思路，一时不知如何因式分解？想到了主元思想，先以k为主元尝试，感觉复杂就放弃了，再以b为主元进行尝试，结果较顺利，取得了成功！因此，在复杂多变量的多项式面前，要突出以某个变量为主线的主元思想，往往能使分解变形顺利实现，突破解题瓶颈.例2：设椭圆22221(0)xyabab的右顶点为(0)Qa，，A(x1,y1)、B(x2,y2)为其上的任意两点,且QA⊥QB.求证:直线AB过定点.证明：（1）当AB⊥x轴时，由222222,.yxabxayab消去y，得222322()20abxaxac,显然22122acaxab,解得2122acxab,故AB过点222,0acab.（2）当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=kx+m(k≠0)，则222222,.ykxbbxayab消去y，得222222222()20bakxkmaxamab,消去x，得2222222222()20bakymbymbabk，在直线y=kx+m与抛物线相交的前提下，则2122222kmaxxbak，222212222amabxxbak，2122222mbyybak，2222212222mbabkyybak，由11(,)QAxay，22(,)QBxay，QAQB=21212121212()()()xaxayyxxaxxayy=2222222222222222222220amabkmambabkaabakbakbak.化简并整理，得222322242()20abmkamabkak，即2223222()20abmkamack，262222222444()4kaabackkab，解得3222222()kakabmab，即3222kakabmkaab，或3222kakabmab，当mka，y=kx+m=y=(kx-a),不合题意；当3222kakabmab时，32322222kakabaabykxmkxkxabab=222ackxab，即直线AB的方程为222acykxab，所以直线AB经过定点222,0acab.综上,直线AB恒过定点222,0acab.解题感悟：对于方程2223222()20abmkamack根的求解，没有一味的拘泥于十字相乘法,而是选择先求判别式,在用求根公式求解,收到了很好的效果.由此可见,平时教学中一味强调十字相乘法的重要性不能过于绝对,数学解题方法的优劣之分往往取决于它的应用时机是否合适.例3：已知椭圆C:2212xy的右焦点为F，M,N为椭圆C上的两个动点，且MN⊥x轴，直线MF与椭圆的另一个交点为Q.求证：直线NQ恒过x轴上一定点.证明:∵F(1,0)，设11,Mxy,11,Nxy,22,Qxy,NQ：ykxb,由2212ykxbxy，消去y，得222124220kxkbxb，∴122412kbxxk……①,21222212bxxk……②,由M，F，Q三点共线，得121211yyxx，两边平方，得22122212(1)(1)yyxx，即22221221(1)(1)yxyx，将22112yx，22222yx代入上式并化简，得12123()42xxxx，再将①,②代入，得2224223421212kbbkk，整理，得22230kkbb，即(2)()0kbkb，解得bk或2bk，当bk时，(1)ykxbkx，不合题意；当2bk时，(2)ykxbkx，故直线NQ过x轴上的定点(2,0).解题感悟：对于三点共线所得关系“121211yyxx”的平方转化是利用椭圆方程等价转化的关键，进而消元得到关于“12xx”与“12xx”的关系后整体突破.G-3lDEBAOyx例4:【2011山东文】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.如图所示，斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm.（Ⅰ）求22mk的最小值；（Ⅱ）若2OGOD∙OE.（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.【解析】（Ⅰ）(略)；（Ⅱ）（i）由题意:设直线:(0)lykxnn,由2213ykxnxy消y得:222(13)6330kxknxn,设A11(,)xy、B22(,)xy,AB的中点E00(,)xy,则由韦达定理,得12xx=2613knk,即02313knxk,002313knykxnknk213nk,所以中点E的坐标为E23(,13knk2)13nk,因为O、E、D三点在同一直线上，所以OEODkK，即133mk，解得1mk，由2OGOD∙OE，得2029313Gknxxk，202213(13)Gmnnymykkk，将,GGxy代入2213xy化简并整理，得22311313knnkkk，即32330kknkn，2()(31)0knk，所以，k=n,故直线l的方程为y=kx+k,即有y=k(x+1),令1x得,y=0,与实数k无关,所以直线l过定点(-1,0).（ii）(略).解题感悟：对于条件“2OGOD∙OE”的应用要通过“化曲为直”来实现对,GGxy的求解，进而利用其在椭圆上的关系求解.例5:【2007年全国卷】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab3,1acac，22,1,3acb221.43xy（Ⅱ）设1122(,),(,)AxyBxy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0mkkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmkxxmkxxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222,7kmkm，且满足22340km.当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7由此可见，直线的斜截式方程“y=kx+b”在研究直线过定点的问题中有着十分重要的作用，恰当应用能切实有效地解决这类问题.当然，在具体应用中要根据不同的问题，切实有效的把握主元思想、化曲为直、平方转化、公式转化及整体转化等数学思想方法，有针对性地解决解题过程中的难点，实现彻底有效的解题.