直线和圆基础习题和经典习题加答案

【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．【典型例题】[例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，2－1）B．（2－1，2＋1）C．（－2－1，2－1）D．（0，2＋1（2）圆（x－1)2＋(y＋3)2=1的切线方程中有一个是（）A．x－y=0B．x＋y=0C．x=0D．y=0（3）“a=b”是“直线222()()2yxxayb与圆相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为．（5）过点（1，2）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．[例2]设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为22，求圆的方程．[例3]已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4]已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l叫x轴，y轴于A，B两点，|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2)．(1)求证：（a－2)(b－2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋52=0相切的直线的方程为（）A．y=－3x或y=13xB．y=3x或y=－13xC．y=－3x或y=－13xD．y=3x或y=13x2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x＋2)2＋y2=5B．x2＋(y－2)2=5C．(x－2)2＋(y－2)2=5D．x2＋(y＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OBOA＝.7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A组1．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2＋y2=2相切，则a的值为（）A．±2B．±2C．±22D．±42．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为A．－3或7B．－2或8C．0或10D．1或113．从原点向圆x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A．πB．2πC．4πD．6π4．若三点A（2，2），B（a,0)，C（0，b)（a，b均不为0）共线，则11ab的值等于．5．设直线ax－y＋3=0与圆（x－1)2＋(y－2)2=4有两个不同的交点A，B，且弦AB的长为23，则a等于．6．光线经过点A（1，74），经直线l：x＋y＋1=0反射，反射线经过点B（1，1）．（1）求入射线所在的方程；（2）求反射点的坐标．7．在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．8．过圆O：x2＋y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线l，M为l上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求△MAQ垂心H的轨迹方程．B组1．已知两定点A（－2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围ABCxyO的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π2．和x轴相切，且与圆x2＋y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是（）A．x2=2y＋1B．x2=－2y＋1C．x2=2y－1D．x2=2|y|＋13．设直线的方程是0ByAx，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）A．20B．19C．18D．164．设直线0132yx和圆03222xyx相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是.5．已知圆M：（x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2=1，直线l：y=kx，下面四个命题A．对任意实数k和θ，直线l和圆M都相切；B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上的任意一点，P，Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程．7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C的平分线分别为lBT：y＋1=0,lCK:x＋y＋1=0,求BC边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x2＋y2=（3a＋1)2外一点P（b3－b,c3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1（1）A．提示：用点到直线的距离公式．（2）C．提示：依据圆心和半径判断．（3）A．提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．（5）22．提示：过圆心（2，0）与点（1，2）的直线m的斜率是－2，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直．例2、设圆的方程为（x－a)2＋(y－b)2=r2,点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y=0上，a＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r2,而圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为22，，故r2－(12ab)2=2,依据上述方程解得：｛b1=－3a1=6r12=52或｛b2=－7a2=14r22=244∴所求圆的方程为（x－6)2＋(y＋3)2=52，或（x－14)2＋(y＋7)2=224．例3、设切点为N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M（x,y),则22221(2)xyxy，整理得（λ2－1）（x2＋y2)－4λx＋(1＋4λ2）=0当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)xy，它表示圆心在222(,0)1，半径为2213|1|的一个圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a－2)(b－2)=2，得（x－1)(y－1)=12(x＞1,y＞1)；(3)由（a－2)(b－2)=2得ab＋2=2(a＋b)≥4ab,解得ab≥2＋2（ab≤2－2不合，舍去），当且仅当a=b时，ab取最小值6＋42，△AOB面积的最小值是3＋22．【课内练习】1．A．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率．2．D．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律．4．A．提示：圆心在直线l2上．5．0＜k＜43．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．6．21．提示：求弦所对圆心角．7．2x＋y－10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x＋11y＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l的对称点，用两点式写l2的方程；或直接设l2上的任意一点，求其关于l的对称点，对称点在直线l1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．9．（1）提示：∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x＋y－3=0,x＋y＋1=0,x－y＋5=0,x－y＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圆心C（－1，2），半径r=2，∵切线PM与CM垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x1－4y1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即3510．从而解方程组2211119202430xyxy，得满足条件的点P坐标为（－310，35）．10．（1）由题意设P（x0,y0)在圆外,切线l：y－y0=k(x－x0)，002||101kxyk，∴（x02－10)k2－2x0·y0k＋y02－10=0由k1＋k2＋k1k2=－1得点P的轨迹方程是x＋y±25=0．（2）∵P（x0,y0)在直线x＋y=m上，∴y0=m－x0,又PA⊥PB，∴k1k2=－1,202010110yx,即：x02＋y02=20,将y0=m－x0代入化简得,2x02－2mx0＋m2－20=0∵△≥0,∴－210≤m≤210,又∵x02＋y02＞10恒成立，∴m＞2,或m＜－25∴m的取值范围是[－210，－25]∪（25，210]11．5直线与圆的综合应用A组1．B．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式．3．B．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a＋2b=ab，两边同除以ab即可．5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x－4y＋2=0；（2）反射点（－23，－13）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A既在BC边上的高所在的直线上，又在∠A的平分线所在直线上，由x－2y＋1=0y=0得A（－1，0）∴kAB=1又∠A的平分线所在直线方程为y=0∴kAC=－1∴AC边所在的直线方程为y=－（x＋1）①又kBC=－2,∴BC边所在的直线方程为y－2=－2（x－1）②①②联列得C的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H（x,y)，圆上的切点Q（x0,y0)∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH为菱形．∴x0=x,y0=y－2．∵点Q（x0,y0)在圆上，x02＋y02=4∴H点的轨迹方程是：x2＋（y－2）2=4（x≠0)．B组1．B．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D．提示：设圆心（x,y)，则22||1xyy3．C．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323yx．提示：弦的垂直平分线过圆心．5．B，D．提示：圆心到直线的距离222|cossin|1|sin()|11kkdkk=|sin(θ＋）|≤1．6．作M