相似三角形中考复习学案(教师用)

相似三角形一、三角形的相似考点1相似三角形的概念及性质1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边_________①____的三角形叫做相似三角形。2．相似三角形对应边的比叫做相似比，全等三角形是特殊的相似三角形，两全等三角形的相似比为1。3．成比例线段与比例性质成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段简称比例线段。比例的性质：（1）比例的基本性质：ba=dcad=bc（bd≠0）（2）合比性质：ba=dcbba=ddc（3）等比性质：ba=dc=…nmndbnca=ba（b＋d＋……＋n≠0）3．相似三角形的对应角________②________，对应边成比例。4．相似三角形对应中线、对应角平分线及对应高的比等于_________③_______。5．相似三角形的周长的比等于相似比。6．相似三角形面积的比等于相似比的__________④_________。温馨提示：三角形的相似具有传递性，若△ABC∽△CBA，△CBA∽△CBA，则△ABC∽△CBA。7．相似三角形证明线段成比例的一般步骤（1）先确定比例式中四条线段所在的两个可能相似的三角形。（2）再找出两个三角形相似所需要的条件。（3）最后根据以上分析，写出证明过程。温馨提示：如果两个三角形不相似，则可采用等量代换线段，用中间比进行替代，或利用平行线等知识解答。考点2相似三角形的判定条件1．两角对应相等的两三角形相似。2．两边对应成比例且_____⑤________的两三角形相似。3．三边对应_________⑥_______的两三角形相似。4．几种特殊三角形相似的判定等腰三角形：（1）顶角或底角相等；（2）腰与底边对应成比例直角三角形：（1）一锐角相等；（2）斜边和一直角边对应成比例温馨提示：两边对应成比例，其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似。就好比“边边角”的两个三角形不能全等一样。证明两个角相等，除了用全等等的知识外，证明两个三角形相似也是常用的手段。可类比全等的知识点来学习相似的性质与判定。考点3相似三角形的应用1．证明角相等或线段成比例等。2．利用相似三角形的性质计算。3．应用相似三角形的性质，条件进行探究等。温馨提示：相似的知识点是初中阶段以及后续学习的重要考点4相似多边形的定义把对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形。考点5相似多边形的性质1．相似多边形的对应角相等；2．相似多边形的对应边的比相等；相似多边形的对应边的比叫做相似比。3．相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方；考点6：位似的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。考点7：位似的性质在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k。（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1B．C．D．2（检查学生做的情况，大部分学生利用勾股定理计算。）这道题目也可以利用相似三角形来计算。有时利用相似三角形解决问题较简便。今天我们复习相似三角形。（出示课题）二、梳理相似三角形基本图形：在我们学习相似三角形这一章时同学们做了许多题目，今天我们来回顾一下，看看他们之间有没有联系，同时检验一下同学们对图形的感觉。1、如图（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE=3，则DE=____(2)如图（2）若CE=，则DE=____.2、如图（3），在⊿ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）（A）1（B）2（C）（D）3、如图（4），∠ABC=90，BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，则BD的长为（）（A）36（B）16（C）6（D）4、如图，F、C、D共线，BD⊥FD,EF⊥FD，BC⊥EC,若DC=2，BD=3，FC=9,则EF的长为（）（A）6（B）16（C）26（D）归纳小结相似三角形的基本图形：“A”型公共角型公共边角型双垂直型三垂直型（母子型）（母子、子子型）“X”型蝴蝶型三、学生探究：1、在△ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.变式：在Rt△ABC中，∠C=90埃?SPANAB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.让学生感受图形从一般到特殊变化时，题目的答案从四解减少到三解。2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是（）A．△EFBB．△DEFC．△CFBD．△EFB和△DEF变式：如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，若使图中△BEF与△ABE相似，需添加条件：。（让学生感受三垂直型）3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P在BC边上，若△ABP与△DCP相似。△APD一定是（）（A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等腰直角三角形（D）等腰三角形或直角三角形变式：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若点P在BC边上，则△ABP与△DCP相似的点P有个。（进一步让学生感受“三垂直型”，并提醒学生注意全等三角形是特殊的相似三角形）四、拓展：1、梯形ABCD中，AD∥BC,ADBC,P为AD上的一点（不与A、D重合），∠BPC=∠A=∠D,找出图中的相似三角形。（将“三垂直型”拓展到“三角相等型”，让学生感受图形从特殊到一般。）2、如图，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN,AD=9,BC=12，AB=10，在线段BC上任取一点P，作射线PE⊥PD，与线段AB交于点E.（1）试确定CP=3时点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（作辅助线：过点D作DH⊥BC于H。构造“三垂直型”）六、作业：1.如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPANAD=3，BC=6，点P在AB上滑动。若△DAP与△PBC相似，且AP=，求PB的长。（本题有两解）2、已知：点D是等边三角形ABCBC边上任一点，∠EDF=60啊?/SPAN求证：△BDE∽△CFD