18.4相似三角形学案一、学习过程:(一)探究:准备一张方格纸,在方格纸上随意画出一个三角形ABC,然后再画一个三角形A′B′C′,使△A′B′C′的每条边都是△ABC相应边长的3倍,观察这两个三角形:(1)△ABC与△A′B′C′的各角之间分别有怎样的关系?(2)△ABC与△A′B′C′的各边的比值BAAB,CBBC,CAAC之间有怎样的关系?(3)△ABC与△A′B′C′是相似形吗?温馨提示:1.从知识的逻辑体系出发,在知识的引入时可考虑先给出相似形的概念,再给出相似三角形的概念。2.在知识的引入上,可以从生活实例的角度出发,在生活中找几个相似三角形的例子,在此基础上给出相似三角形的概念。3.在知识的引入上,还可以从知识的建构模式入手,给出几组图形,告诉学生这几组图形都是相似三角形,由学生研究这些图形的边角关系,从而得到对相似三角形的本质认识。(二)知识点:1.相似三角形。定义:如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角分别对应相等,并且它们的各边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。温馨提示:相似三角形的本质特征是“具有相同形状”,它们的大小不一定相等,这是和全等三角形的重要区别。为加深学生对相似三角形概念的本质的认识,教学时可预先准备几对相似三角形,让学生观察或测量对应元素的关系,然后直观地得出:两个三角形形状相同,就是他们的对应角相等,对应边成比例。问题思考:(l)所有等腰三角形都相似吗?所有等边三角形呢?为什么?(2)所有直角三角形都相似吗?所有等腰直角三角形呢?为什么?两个相似三角形中,相等的角叫做对应角;对应角的顶点叫做对应顶点;对应角所对的边叫做对应边。相似通常用符号“∽”表示,读作:“相似于”,记作:△ABC∽△A′B′C′。如图所示:两个相似三角形中,相等的角叫做对应角;对应角的顶点叫做对应顶点;对应角所对的边叫做对应边。相似通常用符号“∽”表示,读作:“相似于”,记作:△ABC∽△A′B′C′。如图所示:如果在△ABC与△A′B′C′中,有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,BAAB=CBBC=CAAC,那么△ABC∽△A′B′C′。反之亦然,即相似三角形的对应角相等,对应边成比例。2BCADE温馨提示:与三角形全等的表示方法一样,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。(三)典例分析:例:如图,已知△ADE∽△ABC(1)如果∠A=70º,∠B=65º,求∠ADE和∠AED的度数。(2)如果AD=6,DB=3,BC=12,求DE的长。(四)学以致用:1、判断:⑴所有的等腰三角形都相似。()⑵所有的等腰直角三角形都相似。()⑶所有的等边三角形都相似。()⑷所有的直角三角形都相似。()⑸有一个角是120°的两个等腰三角形相似。()⑹有一个角是80°的两个等腰三角形相似。()2、如图1,若△ABC∽△DEF,∠F=45°∠A=30°则∠B的度数为()A.100°B.105°C.115°D.120°图1图23、一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它两边的和是()A、19B、17C、24D、214、△ABC中,AB=12BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,则最短的一边是()A、27B、12C、18D、205、在图2中,若△ABC∽△ADE,则哪些角分别对应相等?哪些线段分别对应成比例?(五)达标测评:1、下列判断正确的是()A、不全等的三角形一定不是相似三角形B、不相似的三角形一定不是全等三角形C、相似三角形一定不是全等三角形D、全等三角形不一定是相似三角形2、一个三角形三边长之比为4:5:6,三边中点连线组成的三角形的周长为30cm,则原三角形最大边长为()A、44cmB、40cmC、36cmD、24cm3、已知△ABC∽△DEF,如果BC=3,CA=4,AB=6,△DEF的最短边长为2,求△DEF各边的长。图(3)ABCD(E)图(3)ABCD(E)34、如图,△AED∽△ABC,其中∠1=∠B,则ABBCAD_________4题图5题图5、如图,已知△ADE∽△ACB,在∠ADE,∠BDE,∠AED,∠CED中,已知哪些角的度数,便可以求出△ABC各内角的度数?(六)能力提升:如图(1),D、E分别是△ABC的边AB、AC所在直线上的点,点D与点B是对应点,△ADE∽△ABC。已知AD:AB=1:2,BC=9cm,求DE的长。变式1:如图(2),D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,点D与点B是对应点,△ADE∽△ABC,已知AD:DB=1:2,BC=9cm,求DE的长。变式2:如图(3),D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点,△ADE∽△ACB,∠ADE=∠C,AD=2cm,DB=4cm,AC=10cm,求AE的长。问题如图△ABC中,已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上(点D不与点A、B重合,点E不与点A、C重合)问题1、请添上一个条件,使得以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。(学生口答)总结归纳并画出示意图:添加以下任意一个条件,都可以使得以点A、D、E为顶点与△ABC相似①DE//BC②∠ADE=∠B③∠AED=∠C④∠B+∠BDE=180°⑤∠DEC+∠C=180°⑥ADAE=BDEC⑥ADAE=ABAC⑦BDCE=ABAC⑧∠ADE=∠C⑨∠AED=∠B⑩ADAE=ACABEADBC1EADBCAEDCB图1ADEBC图2ADEBC图3ABCDE4变式3:如图四边形ABCD中,点E、F分别是线段AB、AC上两点,且AD//EF//BC,连接BD、CA相交与点O,且点O正好在EF上(如图1),观察图1中有相等的线段吗?线段BC、AD、EO、OF有什么数量关系吗?变式2:将图1中的线段EF向下平移,(如图2):在AD//EF//BC的条件下,你还能找到相等的线段吗?此时还有线段符合类似上述的数量关系吗?自我检查:1、两个三角形相似,其中一个三角形的两个内角分别为050和060,则另一个三角形的最大内角为º,最小内角为º.2.、如图,已知cmAB3,cmBC4,cmEFcmCA6,2.求线段DE、DF的长.2、已知PAB∽PCD,若cmAB2.3cmCD4.6cmAC8.3(1)求AP的长.(2)试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.图(2)BAECODABCDEFPDCBA