相似三角形的应用举例练习

27.2.2相似三角形应用举例（2）练习题一、基础练习1．如图1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，则梯子的长为_______m．（1）（2）（3）2．要做甲、乙两个形状相似的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm．那么，符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________．3．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕长是______．4．如图2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，△DPA，△PCD两两相似，则a，b间的关系一定满足（）A．a≥12bB．a≥bC．a≥32bD．a≥2b5．如图3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=_______．6．如图4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．（4）（5）（6）7．如图5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．8．如图6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折线MN=________．9．如图7所示，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，那么FG=_______cm．（7）（8）10．如图8，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB的斜边BC上的高，若BE=6，CE=4，则AD=_______．二、整合练习1．如图，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知点B、C、B′、C′在同一直线上，且点C与B′重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形，要求：（1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）注明相似的两个三角形．2．如图，运河边上移栽了两棵老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出地面3m、4m的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？3．小R、小D、小H在一起研究相似三角形，分别得到三个命题：（1）两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等；（2）两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等；（3）不等边△ABC的边长为a、b、c，那么以a、b、c为边长的△A′B′C一定不能与△ABC相似．请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题？说说你的理由．答案：一、基础练习1．4.42．3若20与50对应，则另两边分别为24cm、32cm；若20与60对应，则另两边分别为5080,33cmcm；若20与80对应，则另两边分别为252cm、15cm．3．因△ABC为Rt△，B与C重合，折痕DE为BC的中垂线交BC于D、AC于E、Rt△CDE∽Rt△CAB，53152,48DECDDEABCA．4．△ABP、△DPA、△PCD两两相似，即∠APD=90°，即以AD为直径的圆与BC至少有一个交点P，所以a≥2b，选D．5．设正方形DEFG的边长为x，由FG∥BC，所以△AGF∽△ABC，设AM交GF于N，,,ANGFhxxahxAMBChaah即解得（cm）．6．8m7．148．设MN与AC交于点O，MN垂直平分AC，AD=9，AB=12，AC=22ABAC=15，△CON∽△CDA，91545,,21224NOADNOMNONOCDC．9．设FG=xcm，由△AFD∽△GAB和△AED∽△GEB，得8516,833ADAExBGEGx解得FG．10．由DE∥AC，△BDE∽△BAC，BEBCBDAB，CE=4，BE=6，DE为Rt△CDB斜边BC上的高，△DEB∽△CED，DE2=CE·BE=24，BD2=24+36=60，BD=215，AD=4153．二、整合练习1．连结BD并延长交A′D′于点E，交C′D′的延长线于点F，将△DA′E绕点E旋转至△FD′E位置，则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3．2．过P作PH⊥BD于H，由于AB⊥BD，CD⊥BD，所以AB∥CD，PH∥CD，△ABP∽△DCP，BP：PC=AB：CD=3：4，BP：BC=3：7，又△BPH∽△BCD，PHBPCDBC=37，所以PH=37×4=127，即点P离地面的高度为127m．（这里AB、CD相距20m为多余条件）．3．真命题为（1）、（3）．理由是（1）若△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，（k≠0）则''''''ABBCCAABBCCA=k，△ABC的周长为AB+BC+CA，△A′B′C′的周长为A′B+B′C′+C′A′，又AB=A′B′k，BC=B′C′k，CA=C′A′k．由周长相等，得k=1，所以AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，所以△ABC≌△A′B′C′．（2）是假命题，可举反例若△ABC∽△A′B′C′，设AB=1，BC=2，CA=2，A′B′=2，B′C′=22，C′A′=2，虽然有两组边长相等，但它们显然不全等．（3）不等边△ABC中，不妨设abc，若△A′B′C′与△ABC相似，则a、b、c的对应边只能为a、b、c，又abcabc，即a=b=c，a=b=c与△ABC是不等边三角形矛盾，所以以a、b、c构成的△A′B′C′一定不能与△ABC相似．（如果△ABC的三边长分别为a、b、c，则可让a、b、c一定能构成△A′B′C′由,,.abcbcacab可证2,2,2.ababcbcbcacacab即,,.abcbcacab）