相似图形知识点+例题剖析+测试卷

质量至上精益求精相似图形（一）线段的比1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比注：同一长度单位的两条线段AB、CD的长度分别为m、n，那么这两条线段的比AB：CD=mn：或，其中、分别叫做这个线段比的前项和后项，如果ABCDmnABCD把表示成比值，那么或·。mnkABCDkABkCD例：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？不对，因为a、b的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位.（）若，且，则。35328abcabca解：令，则，，abckakbkck532532abckkkkk532482ak510（）若：：，则。423432xyzxyzy::解：设x=2k，y=3k，z=4k3232234366434343xyzykkkkkkkkkk2比例尺=图上距离／实际距离.例1.已知：A、B两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm，则该地图的比例尺为________。现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm，则两地的实际距离为__________（用科学记数法表示）。相距50千米的C、D两地在该地图上的距离为__________。解：比例尺千米18018000000cm64800000051200000512512102..cmkmkm50800000050000008000000580625kmcm.（）答案：1：8000000；5.12×102km；0.625cm3如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m,n，那么就说这两条线质量至上精益求精段的比AB：CD=m:n，或写成（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段例1：已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长。例2.下列4条线段中，不能成比例的是________。AabcdBabcdCabcdDabcd....3624126346510251523，，，，，，，，，，，，解：先按从小到大的顺序排列后，再用两内项积与两外项积比较A.c=2，a=3，d=4，b=6，cb=ad=12Babdcacbd.12366，，，，Cacbdadbc.45610，，，，Dabdcacbd.252315215，，，，选C练习：下列四组线段中，a、b、c、d能成比例线段的是（）4比例的基本性质：如果，那么ad=bc（）若，则。157abab（）若，则，。2850xyxyxyxy（）已知，求。3118xyxxy（）已知四条线段满足，把它改写成比例式正确的是4amnbA.a:b=m:nB.a:m=b:nC.a:m=n:bD.a:n=b:m（）若，则、之间的关系是5mnnmmnA.mnB.mnC.m=nD.|m|=|n|解：（）175ab（），2855858xyxyxkyk质量至上精益求精xyxykkkkkk5858133133（）3811()xyx88118383xyxyxxy（4）C（5）D五.合比性质、等比性质：合比：若，则或abcdabbcddabacdc等比：若……（若……）abcdefmnkbdfn0则…………acembdfnabmnk.（）若，则1572323abcdefacebdf（）和中，，且的周长335111111111111ABCABCABABBCBCACACABC为，求的周长。50cmABC（）若，则4abcbaccabkkABCD....12112132或解：（）157abcdefabcdef223357acebdf232357（2）令AD=4k，DB=k，AE=4n，EC=nABDBADDBDBkkkkk4551ECAEnn414ABADADDBADkkkkk445454质量至上精益求精ECACECAEECnnnnn4515（）335111111ABBCACABBCAClllABCABCABC111355035lABC30（）当时，40212abcabcabc()当时，abcbca0abcaa1kk121或例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c的值（二）.黄金分割如图：点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果ACAB=BCAC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。（1）把长为8cm的线段进行黄金分割，较长线段的长是________。（）若点是线段的黄金分割点，则2CABACABABCD....512512532512352或解：（）：15121ACAB质量至上精益求精ACABACAC5125128454··（2）AC可能是较大线段也可能是较小线段ACB选DACAB512ACABBCAB115122512352（三）相似多边形1.对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。例.（1）如图，两个矩形是否相似？66624640（2）下列判断正确的是（）A.两个平行四边形一定相似B.两个矩形一定相似C.两个菱形一定相似D.两个正方形一定相似（3）下列各图形中，一定相似的是（）A.两个平行四边形B.两个直角三角形C.底角相等的两个等腰梯形D.有一个角为60o的两个菱形（）已知四边形四边形，且，，，45648150ABCDABCDABC~''''则。D'质量至上精益求精（5）已知四边形ABCD~四边形A’B’C’D’，且AB：BC：CD：DA=7：6：5：4，若四边形A’B’C’D’周长为44，则A’B’=_______，B’C’=_______，C’D’=________，D’A’=______________。解：（）1404026242426不相似（2）D（3）D（4）106o（5）四边形A’B’C’D’的四边长的比也为7：6：5：4，分别设为7x，6x，5x，4xxxxxxx6544422442ABBCCDDA''''''''1412108，，，例10.（）若四边形四边形且：四边形四边形1ABCDABCDSSABCDABCD1111222211112222~191111111122222222：，则ABBCCDDAABBCCDDA（2）两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，它们的周长比为_________，面积比为______________。（3）两个相似多边形地块的相似比为3：4，面积差为28m2，则它们的面积分别为_________________。解：（1）面积比等于相似比的平方，相似比=1：3ABBCCDDAABCD111111111111是四边形的周长ABBCCDDAABCD222222222222是四边形的周长周长比等于相似比13（2）4：9；16：81（3）面积比为9：16，设两个相似地块分别为9x，16x169287284xxxx9361664xx，它们的面积分别为，366422cmcm（四）相似三角形1相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）质量至上精益求精2相似三角形的判定方法有（1）两角对应相等，两三角形相似。（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（3）三边对应成比例，两三角形相似。3相似三角形的性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。2.相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。例11.（）如图，在中，，，，求。1348ABCDEBCADBDSSABCADE//（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2ABCEFGHEFBCG、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。AHMGBEDFC1解：（）11DEBCB//AAADEABC~ADABADADBDBDBDBD3334SSSSADEABCADEADE()3448916272质量至上精益求精ABCDEFK（2）设正方形边长为x则HGHEMDGFEFxAMADMDx10正方形HEFGHGBC//1BHAGBACAHGABC~AMADHGBC（相似三角形对应高的比等于相似比）101015xx15101015015101510150251506()xxxxxxxxcm（）Scm正方形（）63622一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式ABCDEFG1234质量至上精益求精例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且31ADAFABEB。求证：∠AEF=∠FBD例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：SQ∥AB，RP∥BC例3、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，ABCDFGEABCDEFGABCDEM12质量至上精益求精BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG（五）测量旗杆的高度例1.AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，求梯子的长。解：由题知：，DEACBCAC（（垂直于同一条直线的两条直线互相平行））DEBC//190CAA（公共角）ADEABCDEBCADABDEBCADADBD~70805570558080703850103850385ADADADADADADADADcm()ABADBDcm38555440（）例2.一人拿着一支刻有厘米分布的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个单位恰好遮住电线杆，已知手臂约60厘米，求电线杆高。解：如图所示，由题知：CH=30米=3000cmBE=60厘米EF=12厘米质量至上精益求精BEACCHACC，190BAECAHABEACHBECHAEAH~