相对论基础度规的意义

《度规的意义》第5稿王小舟齐齐哈尔广播电视大学黑龙江齐齐哈尔（161005）E-mail:[e-mail]摘要：本文以数轴为工具定义了度规和度规积分的概念，同时证明了在一定条件下度规积分与黎曼积分等价。度规微积分的理论是重新严格定义了的“十七世纪的微积分”，它解决了困扰了莱布尼兹一生的“无穷小量”问题——莱布尼兹猜想。微分和积分运算是除法和乘法运算的拓展，微积分是人类历史上继掌握了数数、加减法、乘除法之后的第四次关于度量的里程碑式的重大进步。在人类的教育中，微积分作为关于度量的运算应当与四则运算一样被普及。将来，微积分会下放到中学去讲授，度规微积分会因为它的直观和简洁而成为教材中定义的主流形式。关键词：度规；微积分；度规积分；无穷小量；莱布尼兹猜想；柯西方案；宇宙大爆炸中图分类号：o172；文献标识码：A1.引言一个理论的完美，重要的要素是对理论解释的简洁。我认为目前的微积分理论很美，但是还不够完美。在现代数学分析教科书中，定积分的几何解释是曲边梯形的面积，导数是切线的斜率，如果把求定积分的运算称为积分运算，把求导数的运算称为微分运算，这个解释看不出求积分和求微分作为互逆运算有什么明显的联系。微积分的理论在人类认知大自然过程中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论不可能把人送上月球，也不可能把探测器送上火星。微积分的理论在数学结构中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论许多数学分支将失去基础。一个事物可以从多个角度去观察和研究，本文将从不同于现代数学分析教科书的另一个角度去定义微分和定积分，在给出微积分理论简洁解释的同时也完成了莱布尼兹(Leibniz)终身都在思考的“无穷小量”问题（莱布尼兹猜想）。2.实数轴我们承认实数轴的存在，并认为实数轴是对直线度量的结果。实数轴上的点与实数是一一对应的。在一条直线上定义了原点、度量方向和单位长度以后，由欧几里得几何的尺规概念可以确定实数轴上所有的有理点，由实数理论则可以定义实数轴上的所有无理点。[1]p82－83p84－91[6]p11－24在一条直线上定义了不同的原点、度量方向和单位长度会定义出不同的实数轴。所有的实数轴组成一个集合QR。QR中的实数轴y简称为数轴y或y轴。定义1：把一个已知数轴上的点所对应的实数称为这个点在这个数轴上的名称。实数是实数集合的一个元素也表示数轴上的一个点，一个连续的实数的集合也表示数轴上连续的点的集合。数轴上连续的点的集合是一个有方向的直线、射线或线段。以后我们可以用实数集合的区间符号表示数轴上点的集合。：y轴上的点的集合,ab称为y轴上的一个向量，记做,yab。上面向量符号可以表示点的集合也可以表示向量的大小和方向。为了节约篇幅和便于读者理解，暂时不讨论负向量。3.度规度规微分度规积分度规导数变度规实数轴定义3：度量y轴时所用的单位长度和方向称为y轴的度规，记做Dy。于是Dy＝0,1y。在度量y轴时Dy不变，称Dy为常度规，y轴为常度规数轴。对y轴的度量可以表述为0,yaaDy。在y轴上可以推出,()yabbDyaDybaDy(1)(常度规实数轴的积分公式)于是有,yabbDyaDyDybaba(2)(常度规实数轴的微分公式)公式（1）和公式（2）揭示了实数轴上度规和向量关系的本质。公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。公式(1)称为常度规实数轴的积分公式。公式（2）是已知向量求度规的问题，我们称作常度规实数轴的微分问题。公式(2)称为常度规实数轴的微分公式。我们把积分公式和微分公式合在一起统称为微积分基本公式。积分公式（1）是一个乘法运算，微分公式（2）是一个除法运算。下面有两个例子。例1：已知y轴上Dy＝1cm则3,5y＝（5－3）×1cm＝2cm例2：已知3,3.001z＝2光年则Dz＝2光年/(3.001－3)＝2000光年数轴上一个很小的向量就可以求出度规，或者说知道一个点a与邻近点的向量就可以求出度规，这被称为度规的微分性质。用数学语言描述就是：对任意的λ＞0有,yaaDy(2′)(常度规实数轴的微分公式)定义4：有无穷个度规供我们选择，我们选定其中的一个称为单位度规，它的向量定义为1。记做Dx，即Dx=1。由单位度规确定的数轴我们称为单位数轴或x轴。在欧几里得几何学上通常用英文字母为点命名，同时认为点是没有大小和方向的，这样的点我们称为欧几里得点或欧氏点。数轴上的点我们称为数轴点。由于数轴点生成的特殊性，数轴点又与欧氏点有不同的性质。数轴点是由度规度量直线生成的，因此，度规也决定了数轴点的性质。我们认为数轴点是有大小和方向的。给定数轴上一点a，对任意一点b由度规方向就能知道它在a点的哪一侧，这个性质称作数轴点的方向。给定点的集合,ab，在不同的数轴上,ab线段占有空间的情况也不同，度规长数轴上的线段也长，这个性质称作数轴点的大小。定义5：把y轴上的点和点的性质（大小和方向）称为y轴上点的度规微分，记做dy，，dx＝1。定义6：用符号ba()Ddy表示,yab，称为y轴上a到b的度规定积分，于是(),()byaDdyabbaDy（1′）(常度规实数轴的积分公式)定义7：称DyDx为度规导数,记做,xy。于是dydx,xy。就有Dy＝,xyDx（3）dy＝,xydx（4）下面我们用到的函数f(x)x∈(-∞,+∞)单调增加、处处可导并且导函数连续。定义8：将x轴上f(x)点的名称改称为x，就得到一个新的实数轴，称作f(x)轴。这一类的实数轴称为变度规数轴。于是()(),(),xfxfafbab。定理1：在()fx轴上(),()()fxabfbfa证明：(),(),()()()()()fxxabfafbfbfaDxfbfa▍在常度规数轴上引入的度规微分和度规定积分的概念和符号也可以延伸到变度规数轴，f(x)轴上a点到b点的度规定积分记做()()baDdfx，于是()()baDdfx＝(),()()fxabfbfa（1”）类似公式（2′）可以定义变度规数轴f(x)上点度规的概念。定义9：在变度规数轴()fx上，x点的度规()0,()limfxxxDfx（2”）我们依然把公式（1”）和（2”）合在一起统称为微积分基本公式。其中公式（1”）称为变度规实数轴的积分公式，公式（2”）称为变度规实数轴的微分公式。定理2：()Dfx＝()fxDx(3′）（变度规实数轴的微分公式）证明：()0,()limfxxxDfx0(),()limxfxfx0()()limfxfxDx0()()limfxfx是数学分析中函数f(x)在x点的右导数，f(x)处处可导，于是()Dfx＝()fxDx▍y＝fx时，由公式（3）和公式（3′）可知,xy＝()fx，度规导数与导数等价，以后可以把度规导数称作导数。由公式（4）可知在变度规数轴f(x)上，x点的度规微分()dfx＝()fxdx（4′）（变度规实数轴的微分公式）公式（3′）是公式（2”）的一个等价形式，因此我们把公式(3′）称为变度规实数轴的微分公式。在后面的讨论中将介绍我们的一个观点，微分dy是度量y轴时刻的度规Dy，因此我们把公式(4′）称为变度规实数轴的微分公式。公式（1”）和（4′）合在一起是微积分基本公式。如果写出()fxdx＝()dfx，()fx应当理解作()fx的任意一个原函数。定理3：如果()fx是()fx的任意一个原函数,则()()baDfxdx＝()()fbfa(5)（微积分基本公式）（度规微积分的牛顿——莱布尼兹公式）证明：()()baDfxdx＝()()()()()()baDdfxcfbcfacfbfa▍公式（5）是公式（1”）和公式（4′）的统一表达形式。我们称公式（5）为微积分基本公式，或称公式（5）为度规微积分的牛顿——莱布尼兹公式。我们称定理3为微积分基本定理。4.度规积分与黎曼积分的等价性定义10：称函数f(x)＋c(c为常数)为函数f(x)的位移函数,称〔f(x)＋c〕轴为f(x)轴的位移数轴。由数学分析的理论知道，位移函数具有很好的性质，他们有共同的导数，同样的，一个函数的原函数互为位移函数。位移数轴同样有很好的性质。定理4：位移数轴的同名向量相等,即()(),,fxfxcabab证明：(),fxcab＝()()()()fbcfacfbfa＝(),fxab▍现代数学分析教科书中，黎曼积分[7]p252（其它如Lebesgue积分和Stieltjes积分）的定义是用一个和式的极限完成的，而度规积分是用数轴定义的，两者使用的工具和定义方式完全不同。那么度规积分与黎曼积分是什么关系呢？我们是用变度规数轴()fx上一个向量定义度规积分()()baDdfx的，由定理4知()()baDdfx＝()()baDdfxc＝()()baDfxdx我们可以把()()baDfxdx看作度规积分的另一个等价定义。按照上面关于()fx的约定，()fx是连续的，因此()fx的黎曼积分()bafxdx存在。而且黎曼积分的牛－莱公式()bafxdx＝()()fbfa与公式（6）的结果完全一致。在上面关于()fx的约定条件下两个积分是等价的。以后我们也可以把度规积分称为积分，也可以把度规积分符号前面的（D）去掉。注意到在定义黎曼积分时用的是闭区间，度规积分用的是半开半闭区间。只要在相关的点补充定义，不影响结论的正确性。5.微积分在变度规直角坐标系下的几何解释：平面上两个正交的变度规数轴构成了一个坐标系，称为变度规直角坐标系。其中一个变度规数轴称为横轴，另一个称为纵轴。平面上的任意一点可以表示为数组（a，b），称数组为坐标。其中a为这一点在横轴上投影的名称，b为这一点在纵轴上投影的名称。平面上的点与坐标是一一对应的。满足（x，x）的点构成了一条曲线，称为同名曲线。当横轴为x轴，纵轴为f(x)轴时：同名曲线上（x，x）点的切线斜率是()dfxdx＝()fx，f(x)轴上x点的微分()dfx＝()fxdx，x点的度规()Dfx＝()fxDx＝()fx。对于x轴的向量,xab＝ba有f(x)轴的向量()badfx＝(),fxab＝()()fbfa与之对应。如果把x轴看作时间，把f(x)轴看作物体运动的位移过程，()fx就是速度。当时间由x轴的时刻a流逝到时刻b，物体就由f(x)轴上的a点按速度()fx移动到b点，移动的向量是f(b)－f(a)。这个解释告诉我们这样一个事实，在f(x)轴上包含了更多的信息：点的名称是时间（自变量）、函数值的变化是位移（定积分）、点的度规是速度（导数）。图中的n是整数n+7(b,b)n+6bn+5xn+4n+3an+2（a,a）n+1abnnn+1n+2n+3n+4xn+5n+6n+7图1微积分在变度规直角坐标系下的几何解释6.莱布尼兹猜想很久远的从前，人们就开始了对微积分的探讨。中国古代三国时期魏人刘徽的割圆术是人类关于微积分思想的早期萌芽。他用计算圆内接正多边形的面积的方法得到圆周率π≈3.1416。[11]p57[13]p33不可分素方法（不可分法）或称“原子论”方法是人类关于微积分的思想火花，它可以回溯到遥远的古代——公元前三世纪的亚几默德的时代。亚几默德在《亚几默德致依拉托斯芬书》中含有了由线组成平面图形、由平面组成立体的思想。[8]p443－444十七世纪常被数学史家称