北师大版高中数学必修二1.6.1垂直关系的判定精简

§1.6.1垂直关系的判定第一章立体几何初步•1直线与平面垂直的判定思考问题一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？直线与平面垂直的定义及画法定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直。画法:pl直线与平面唯一的公共点即交点叫做垂足．lll（垂直于内的任意一条直线）垂线垂面垂足bcaA图(1)bacA图(2)已知b,c是平面内的两条相交直线,直线a⊥b,a⊥c,这时,a与有什么位置关系?已知b,c是平面内的两条不相交直线,虽然直线a⊥b,a⊥c,,a与有什么位置关系?a⊥.a与不垂直.直线与平面垂直的判定定理文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言:图像语言:AablB,,,,.mnlmlnlmnB例1:如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC,PB=PD.求证：PO⊥平面ABCDCABDOPABCDPOOBDACBDPOBDOPDPBACPOACOPCPA平面又的中点是点又的中点是点证明,,下列命题中正确的命题是①如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面.④过一点作一平面的垂线有且只有一条.⑤过一点作一直线的垂面有且只有一个.①②④⑤小结：1.直线与平面垂直的定义lmm为内任意一直线l2.直线和平面垂直的判定（1）定义法：lmm为内任意一直线l（2）直线和平面垂直的判定定理：,,,.,.mnmnBllmln（3）ba//ab线线线面平面与平面垂直的判定1．半平面的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面2．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。l这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。AB二面角－AB－l二面角－l－二面角的画法及其表示方法直立式平卧式二面角C－AB－DABCDll二面角的表示：①当棱为l,面分别为α和β时,二面角记作：二面角α-l-β②当棱为AB,面分别为α和β时,二面角记作：BAABCCDDEEFF二面角α-AB-β或二面角E-AB-Dl面面棱二面角与平面角的联系和区别：平面角二面角图形构成表示AOB顶点ABO射线—顶点—射线半平面—棱—半平面∠AOB二面角α-l-β二面角的度量以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角：lAOBB'A'O'注意！二面角的平面角必须具备下面三点：（1）角的顶点在棱上；（2）角的两边在面内；（3）角的两边和棱垂直.平面角是直角的二面角叫做直二面角.特别！二面角的平面角0180[,]二面角的度量llBOABOA90AOB思考:教室里相邻的两面墙及地面可以构成____二面角,其中有____个直二面角.二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的度数就是二面角的度数.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.,l二面角l是直二面角.lDC3.两平面垂直的定义lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的大小用它的平面角来度量二面角的范围：[0°,180°]．反馈练习1.画三个两两互相垂直的平面.注意二面角的平面角必须满足的条件：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内lOABAOB指出上图中画法正确的二面角的平面角两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.记作:3、两个平面互相垂直的意义两个平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直定理6.2如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.证明面面垂直的本质和关键是什么？本质：线面垂直面面垂直关键：找垂直于平面的线用符号表示为llαβl1.定义法,l二面角l是直二面角.lAOB二、平面与平面垂直的判定DCAB2.判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.,ABAB•如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。()•如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。()•如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直。()×√例1.下面说法正确吗?√例2.设有直线m,n和平面,,则下列命题中,正确的是()例1.已知l⊥,则过l与垂直的平面()A.有1个B.有2个C.无数个D不存在A.若m∥n,m,n,则B.若m⊥,m⊥n,n,则C.若m∥n,n⊥,m,则D.若m∥n,m⊥,n⊥,则CC例2：如图，AB是⊙O的直径，⊙O所在的平面为，PA⊥于A，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC.CPAB·O证明由AB为⊙O的直径知，BC⊥AC。又∵PA⊥，BC，∴PA⊥BC∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC.∵BC平面PBC∴平面PAC⊥平面PBC例1.如图所示,在RtΔABC中,∠B=90o,点P为ΔABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC.问:四面体PABC中有几个直角三角形?解:PA⊥平面ABCABCAB平面ACABC平面PA⊥AB,PA⊥ACPAC,PAB是RtΔ.PA⊥平面ABCBCABC平面BCPAABBCABPAABC⊥平面PABPBPAB平面BC⊥PBPBC是RtΔ.综上可得,四面体PABC中的四个面都是直角三角形.ABCP思考:上图中有几组互相垂直的平面?4.如图,在立体图形A-BCD中,AC=AB,DC=DB,M、N、P分别是BD、DC、BC的中点.求证：平面AMN⊥平面DPA.ABCDMNP证明：BPPCABACBCAPDCDBBPPCBCDPAPDPPBCADP平面DNNCDMMBMN//BCMNADP平面MNAMN平面AMNADP平面平面小结lOAB1、二面角及其它的平面角二面角－l－2、平面与平面垂直的判定定理αβl二面角的范围：[0°,180°]．ll平面与平面垂直的判定方法：（1）定义法：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（“线面垂直”则“面面垂直”）