浅析数学中的美

1数学中的简洁美爱因期坦说过[3]“美，本质上终究是简单性．”朴素、简单，是其外在形式，只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美．世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完．这首诗[4]，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义．数学和诗歌一样，有着独特的简洁美．以下将从数学语言的简洁性及数学方法的简洁性两个方面论述数学的简洁美．1.1数学语言的简洁性数学语言是一种特殊的语言，从形式上大致可分为数学文字语言、数学符号语言和数学图式语言．数学中的文字语言是数学化了的自然语言，或者称为自然语言中的数学语．自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊．所以，数学中的文字语言不是自然语言文字的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定、精确化而形成的，并且，这些语言具有数学学科特指的确定的语义，常以数学概念、术语的形式出现．如数学中的直线、全等、连续、区间、组合、相似、极限、轨迹等都是自然语言的精确化；绝对值、正值、中线、中位线、有理、无理等都是对自然语言中的文字进行限定的结果；增加几倍、扩大几倍、概率、正弦、可微、可积等都是具有特定含义的数学文字语言．有些数学语言本身还具有比喻或象形意义，如扇形、补角、射影、倒数、锐角、钝角、参数、行列式等数学词语，似乎能给人一种语言直观，使人较为自然、容易地领会和理解．自然语言是数学文字语言形成与发展的基础，数学文字语言不仅借用了自然语言中的文字，沿用了自然语言中的语法规则，而且在大多数情况下两种语言的语义也是一致的．符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式．“数学的效能来自数学符号．”[5]按感知规律，数学符号分为三种：象形符号、缩写符号、约定符号.象形符号是由数学对象的空间位置结构或数量关系经抽象概括得到的各种数学图形或图式，再经缩小或改造而形成的一类数学符号．如几何学中的符号、⊙、、等都是原形的压缩改造，属于象形符号．缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如函数f(function),极限lim(limit)、正弦sin（sine）、最大max（maximal）、最小min（minimal）等符号均为此类.约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号，如运算符号、、、，存在（）、任意（）、全等（）、相似（∽）、大于（＞）、小于（＜）、存在（）、任意（）等均属此类．图表语言是指包含一定数学信息的各种图或表，可细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和格表语言（统计数据表、分析表、框图等），它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，而且还是进行抽象思维的一个重要工具．我们必须确认，图表也是一种数学语言，是数学的一种直观性语言，是对其他两种语言的补充，它与数学概念、术语、符号与式子等一起构成数学语言系统．尤其在当今信息化社会，人们会经常地在各种媒体上看到或阅读到某种载有一定数学意义的图形、图象或格表，这些图形、图象或格表作为信息传递的一种形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直观．所以，掌握图表语言是现代社会的要求，学生必须学会读图，掌握图表语言，要能够从图形、图象和格表中读出蕴涵的信息来．三种数学语言各有优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；数学符号虽然抽象，但十分简洁，描述起来给人以结构感；图表语言比文字语言和一般符号语言更具直观性，容易形成表象．为了使数学内容不那么难懂，能够借助母语理解，在实际表述数学思想内容的时候，常结合自然语言的表述，所以，一种数学思想内容的表达常是数学符号语言、文字语言、图表语言和自然语言的优势互补和有机融合．数学语言作为一种语言，是数学交流的工具，是数学思维的载体．但是它和自然语言(如汉语、英语)却有着诸多不同．数学语言抽象而精确、简练而多样、科学而通用．1.2数学方法的简洁性应用题的解法常有多种，我们也提倡解决问题的方法多样化，那么在这多种解法中如何判断其优劣呢?其最主要也是最基本的标准——是否简捷．例1.2.1一条路长1200米，某工程队前3天修了全长的15，照这样计算，修完这条路还需几天?解法一：11[1200(1200)](12003)1255(天)解法二：11200(12003)3125(天)解法三：11[(1)]31255(天)解法四：133125(天)后两种解法运算量小，道理也很清楚，特别是第四种解法．利用天数与与工作量的关系，一下子算出总天数，再减去已用的3天，马上得解，因而也是最清楚、最美的解法．在高等数学中,求不定积分比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来得困难,因为其中需要技巧.我们提倡快乐数学，用朴素、简明、生动的语言表达深奥的道理.把求不定积分的主要技巧、思路经过提炼，编成顺口的便于记忆的口诀，学生很容易掌握求不定积分的方法.口诀是：心中有张积分表，做题想法去对照，表中没有换变量，积分换成表中样，查表得出原函数，积分变量换原样，遇到乘积和超越，分部积分有特效，办法总比困难多，熟记口诀实在妙.例1.2.2[5]求不定积分1sindxx.解22sincossincos1222222lntansin22sincoscossin2222xxxxxxddxdxdxCxxxxx，（C为任意常数）.例1.2.3[5]求不定积分sinsincosxdxxx.解sin1sincossincossincos2sincosxxxxxdxdxxxxx1sincos(12sincosxxdxxx1(sincos)1()(lnsincos)2sincos2dxxxxxxCxx,（C为任意常数）.简洁美并非单薄、初等、低级,而是用简单的原理、公式概括大复杂的事实,这样的简洁就显得深远，且充分显示出科学理论之美.数学的这种简洁美，用几个定理、公式、概念、理论，是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使己有的定理更简洁.正如伟大的希尔伯特曾说过[6]“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”．数学中的简洁美无处不在，从自然数到哥德巴赫猜想，只要有数学的地方，你总会采撷到数学的简洁美．数学符号、图形的使用可以替代语言文字，同时又浓缩了语言文字的全部含义．这给研究问题带来了方便，提高了工作、学习效率.总之，数学的抽象符号及直观的图形中有美的形象，数学的逻辑推理中更有简洁美的神韵．1数学中的对称美“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法．在“对称”中往往体现出数学的“美”来．充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果．亚里士多德指出：认为数学不涉及美或善是错误的．数学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式．下面就对称性原理在数学中应用的几个方面作一些介绍，从中体会一下数学上的对称之美及对称性应用之妙．2.1对称性在几何中的应用在几何方面，对称性较为直观，通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象.球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的，利用它们的对称性可以解决许多几何问题．在欧氏平面几何中，过两点可作一条直线，但两直线不总有一个交点(当这两条直线平行时)，如果我们设想两平行线相交于无穷远点，那么就形成完全对称关系了.正是基于这种对称性的“弥补”而推进了几何发展，建立了射影几何学.在射影几何理论中，点与直线始终具有对称的重要特性，例如：两点确定一条直线，两直线确定一点；不共线三点确定一个二角形，不共点三直线也惟一地确定一个三角形等等．这样一来，欧氏平面几何中的定理与射影几何中的定理之间也构成了一种对称关系在．平面几何的定理中，若将其中“点”换成.“直线”，“直线”换成“点”，就可得到相应的射影几何中的定理．例如[7]：由德萨格定理“若两个三角形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线”，经过对称地变动，即得“对偶定理”，若两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点的边线共点．例2.1.1证明等腰三角形的两底角相等.分析此题的常规证法是通过作等腰三角形底CBA边上的高而得到两个全等的三角形,从而由对应角相等来证明命题成立．若我们能发现ABC与ACB的对称性就能够更简单地证明..证明如图右所示,在ABC与ACB,因为AA,ABAC,ACAB,所以ABCACB．因此BC．当然,此题用常规思维,通过作底边上的高同样比较容易证到所要证的结论.但利用对称性来证明是一种很好的证明方法，更加简单，能够培养人的发散思维．例2.1.2如图，ABC的三边分别,,abc,CD和BE分别是ABC中ACB，ABC的外角平分线，CDADAEBE，垂足分别为D、E，求ED．分析从图形上看，ED与BC可能是平行的，于是猜想ED可能是某个三角形的中位线，那么想象中的三角形是哪个三角形呢？已知图形中给出了对称条件：角平分线，由此而想象到把AEB沿BE折到FEB，把ADC沿1()2EDabc折到GDC，这样既补全了完美的轴对称图形，又得到了一个完整的AFG，而且易证ED就是AFG的中位线，所以1()2EDabc．这显然是在图形美的追求过程中捕捉到解题灵感的.例2.1.3[8]已知ABC中，A，B，C的对边分别是cba,,,且10cb，78322222aacb,求证：ABC是等腰三角形．分析考虑到已知式b、c的对称性，用a的代数式表示bc，进而可考虑构造出一元二次方程来探路求解.解由10cb，78322222aacb，得89162aabc，于是构造一元二次方程089161022aaxx，可见cb,是该方程的两个实数根，故有0)8(4)8916(410222aaa，即0)8(2a，但0)8(2a，所以0，cb，即ABC是等腰三角形.在解题中给我们的启迪是什么？是它们的对称，是解题方法的巧妙.对称性是数学发现与创造中的重要的美学因素.解题时一旦题目提供的知识信息与学生的审美情感吻合，就会激起学生的审美直觉，从而迅速、正确地确定解题方法，GFEDCBA解题思路、解题策略.数学解题是一种审美活动，是审美情感支配下对数学美的追求.2.2对称性在积分中的应用对称是数学形态美最重要的特征，正如著名数学家魏尔所说：“美和对称紧密相连.”在积分学中，对称区间上的定积分依被积函数的奇偶性可变得简单，即在对称区间,aa上，若函数()fx为偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx,若()fx为奇函数，则()0aafxdx，用积分求平面图形的面积和空间立体的体积时，若能首先断定所给的平面图形和空间立体是对称的，则只须分别求出其中一个对称块的面积和体积，再乘以对称的块数即可，因此利用对称性使计算变得十分简单．在微积分中，可以利用对称性来求微分、积分等．例2.2.1[9]求积分222222()vxyzIdxdydzabc，其中V为椭球体2222221xyzabc．分析根据椭球体的变量xyz、、之间、参变量abc、、之间与I的积分变量xyz、、之间、参变量abc、、之间均具有对称性,可以把I拆分成212vxIdxdydza，222vyIdxdydzb，232vzIdxdydzc，只要求出其中任一个(不妨设1I)的值，就可以求出其余两个(2I,3I)的值，只需把所得结果中的参量(a)替换成相应参量(b或c)就可以了，例如，若求1If（a），2If（b），3If（c）．解令22122xavaRxxIdxdydzdydzaa，其中xR表示椭球面222222221yzxxaa（1-）b（1-）c，其面积为22xabca（