南京林业大学10-1交通系统分析

§5排队论•在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布§5-1交通流的统计分布特性一、离散型分布泊松分布二项分布离散分布§5-1交通流的统计分布特性1.泊松分布车流密度不大，车辆之间相互影响较小，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。(1)适用条件(2)基本公式!)(ketPtkkk=0,1,2,…Pk—在计数间隔t内到达k辆车的概率λ—单位时间间隔的平均到达率，辆/st—每个计数间隔持续的时间(s)e—自然对数的底，取值2.71828§5-1交通流的统计分布特性1.泊松分布(3)递推公式!)(ketPtkkmeP0kkPkmP11分布的均值M和方差D都等于(4)特征计数间隔t内平均到达的车辆数§5-1交通流的统计分布特性【例5-1】设60辆车随机分布在4km长的道路上，服从泊松分布，求任意400米路段上有4辆及4辆车以上的概率。解：t=400m，λ=60/4000辆/m，m=λt=6辆【例5-2】Adams数值例题对某一交叉口观测数据如下10S周期车辆到达数观测频次总观测车辆数泊松拟合频率09401636322142326〉300合计180111§5-1交通流的统计分布特性解：t=10s，λ=111/（180*10）辆/s，m=λt=0.617辆5397.00meP3328.001mPP1026.0212PmP0211.0323PmP§5-1交通流的统计分布特性2.二项分布车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。(1)适用条件(2)基本公式k=0,1,2,…nPk一在计数间隔t内到达k辆车的概率；λ一平均到车率(辆/s)；t一每个计数间隔持续的时间(s)n一正整数，观测间隔t内可能到达的最大车辆数。knkknkntntCP)1()()!(!!knknCknknkknkppCP)1(p=λt/n一辆车到达的概率§5-1交通流的统计分布特性2.二项分布(3)递推公式均值方差(4)特征npP)1(0kkPppkknP111knkknkppCP)1(npM)1(pnpDDM•车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外，还可用车头时距分布来描述，这种分布属于连续型分布。§5-1交通流的统计分布特性二、连续型分布负指数分布移位负指数分布连续分布§5-1交通流的统计分布特性1.负指数分布用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应，若车辆到达符合泊松分布，则车头时距就是负指数分布。(1)适用条件§5-1交通流的统计分布特性1.负指数分布(2)基本公式tethP)(式中，P(ht)—到达的车头时距h大于t秒的概率。λ—车流的平均到达率(辆/s)。)(0thPePt!)(ketPtkk§5-1交通流的统计分布特性【例5-3】对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于10s的概率。37.0)10()(101.0ehPethPt63.01)th(teP解：车头时距大于10s的概率也就是10s以内无车的概率。由λ=360/3600=0.1辆/s同样，车头时距小于或等于10s的概率为：§5-1交通流的统计分布特性1.负指数分布由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h），则λ=Q/3600，于是负指数公式可改写成：负指数分布的均值M和方差D分别为：3600)(QtethP211DM§5-1交通流的统计分布特性2.移位负指数分布适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。移位负指数分布公式:分布的均值M和方差D分别为：)(1)()()()()(tethPtethPtt211DM§5-1交通流的统计分布特性【例5-4】在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h，1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少。7.5mQ=360辆/h§5-1交通流的统计分布特性解：行人横过单向行车道所需要的时间：t=7.5/1=7.5s因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为：对于Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：47240360057360360057..).(eePQth（次）17047240360.§5-1交通流的统计分布特性当Q=900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：15340360057900360057..).(eePQth（次）13815340900.§5-2排队论的应用一、引言1.定义：•排队论是研究服务系统因“需求”拥挤而产生等待行列(即排队)的现象，以及合理协调“需求”与“服务关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机服务系统理论。•【食堂、医院、超市、银行、买火车票等等】§5-2排队论的应用一、引言2．发展：1905年：丹麦爱尔朗提出并应用于电话自动交换机设计；1936年：亚当斯用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题1951年：唐纳予以推广应用1954年：伊迪应用排队模型估计收费亭的延误摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。§5-2排队论的应用一、引言3．应用：研究排队论实质上是解决最优化问题，在交通设计和管理方面有动态优化和静态优化动态优化：是指排队系统的运营，也就是按什么方式接收服务，常见的例子有：行人管理、交通信号控制、对车行道上延滞的处理静态优化：是指合理的设计方案，比如：高速公路收费口的设计、地上地下停车场的设计、加油站的设计等。§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理(1)顾客：要求服务的人或物（车）。(2)服务台：为顾客服务的人或物。（交叉口、收费站）(3)排队：等待服务的顾客，不包括正在被服务的顾客。(4)排队系统：既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被服务的顾客。1．基本概念§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理(5)队长：有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，平均顾客数（期望值）。(7)等待时间：顾客到达时起至开始接受服务时止的这段时间。(8)逗留时间：一个顾客在系统中停留的时间。(9)忙期：服务台连续繁忙的时期。1．基本概念§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理(1)输入过程：就是指各种类型的顾客(车辆或行人)按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如：D—定长输入：顾客等时距到达。M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。2．排队系统的组成§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如：损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车优先)等多种规则。混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍长大于等于L，顾客就离去，永不再来。2．排队系统的组成§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理服务次序：先到先服务（FCFS）：按顾客到达的先后次序给予服务。后到先服务（LCFS）：电梯；钢板。优先服务（PR）：按照轻重缓急给予服务，重病号/轻病号、主干路/支路。随机服务（RSS）：当一个顾客服务完了，在排队中随机取一个，电话总机。2．排队系统的组成§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理(3)服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。D—定长分布：每一顾客的服务时间都相等；M—负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。Ek—爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。2．排队系统的组成§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理3．服务台的排列方式(1)单通道服务系统1服务台到达离去1到达离去2n...(2)多通道服务系统单通道单服务台系统单通道多服务台系统可通的多通道系统123到达离去离去离去123到达离去离去离去到达到达不可通的多通道系统§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理4．排队模型的表示方法肯道尔(D.G.Kendall)1971年国际排队符号标准会议到达过程/服务过程/服务台数目/在系统中最大顾客数/在顾客源中顾客数/排队规则M/M/1/K/∞/FCFS§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。服务（收费站）μ输出输入λM/M/1系统§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用主要参数：设平均到达率为λ，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/λ；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为μ，则平均服务时间为1/μ；比率：称为交通强度或利用系数，由比率ρ即可确定各种状态的性质。§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用当ρ1（即λμ），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当ρ≥1（即λ≥μ），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是ρ1。例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=8s如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。8081101.//§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：在系统中有n个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：10P)1(nnP（辆）1)1(n§5-2排队论的应用系统中顾客数的方差：当ρ≥0.8以后，平均排队长度迅速增加，排队系统变得不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。排队系统中平均消耗时间：是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。三、M/M/1系统及其应用)1()1/(22)(辆辆或s/h/1nd§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用排队中的平均等待时间：这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。)()(辆辆或s/h/1dw§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用平均排队长度：这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。（辆）)(112nnq§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用平均非零排队长度：即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。（辆）)(qqqww11§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用系统中顾客数超过k的概率：11)1(1))1(...)1(1(1P-1)(1)(kkkk0iiknPknP§5-2排队论的应用三、M/M/1系统及其应用系统中排队等