矢量分析与数理方程总复习题

矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题矢量和矢性函数1、求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）kjiA32kjiB6542、求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）ktjtittAsincos，ktjeittBt23、设ktjitA23，kjiB22，kjtiC3，求CBA4、如果ktjtittAsincos，ktjeittBt2求dttAd和dttBd5、如果jiesincos①求dede1，②证明e⊥1e.6、如果jiecossin1证明eded17、求不定积分de，de1。8、计算不定积分de122.9、求矢量kjir22的单位矢量0r。方向导数和梯度1、求kjil22的方向余弦2、写出矢径kzjyixr的单位矢径0r，用方向余弦表示0r3、求矢性函数kzjxyixzyxl4232,,的方向余弦4、求函数222zyxu在1,0,1M处沿kjil22的方向导数5、求数量场zyzxu2322在点1,0,2M处沿kzjxyixl4232方向的方向导数6、求下列数量场的梯度①222zyxr，②22211zyxr，③223zxyzxu③32zyxu，④xzyzxyu，⑥zyxxyzyxu62332222.7、设c是常矢量，kzjyixr，证明ccr。通量及散度1、利用通量的定义求矢量kzjyixr通过球面2222Rzyx的通量.2、利用奥氏定理求矢量kzjyixr通过球面2222Rzyx的通量.3、计算下列矢量场的散度①kzjyixr，②3rrD，其中kzjyixr，222zyxr，③kxyjzxiyzA2332，④kxyzjxzyiyzxA223，⑤kzjyixA333，⑥rxyzA，其中kzjyixr.4、计算zyx23cos5、设c是常矢量，kzjyixr，证明crcr0环量及旋度1、求矢量场jxiyA沿l的正方向的环量，其中l的参数方程是3cosRx，3sinRy，20.2、计算下列矢量场的旋度①kzjyixr，②kexjyzizxyAy2222sin，③kyxjxzizyA222222.3、设kzjyixr，222zyxr，c是常矢量，求①rrf②crf4、设c是常矢量，kzjyixr，证明crcr0有势场、管形场和调和场1、证明下列矢量场是有势场①kyzxjyzxixyzA22222cos2②jyxxyixyyxAsincos2sincos2222、证明下列矢量场是管形场kxzjyxiyzA2332，3、证明矢量场是调和场kzyjzxyiyxA622424、证明2221,zyxyxu（0x，0y，0z）满足拉普拉斯方程.5、证明kzyxjyzixzA1222222是无旋场.6、求下列势函数所对应的矢量场①222zyxr，②22211zyxr，③223zxyzxu③32zyxu，④xzyzxyu，⑥zyxxyzyxu62332222.7、设c是常矢量，kzjyixr，证明ccr。数学物理方程，边界条件和初始条件，分离变量1、验证latnlxntxusinsin,满足一维波动方程22222),(),(xtxuattxu＝2、验证latnlxntxucossin,满足一维波动方程22222),(),(xtxuattxu＝3、)()0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222xtxuxxutlutualxxtxuattxu＝是一维弦振动的定界问题，指出哪一个条件是边界条件？哪一个是初始条件？什么叫定解条件？什么叫定解问题？3、0)0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222txuxxutlutualxxtxuattxu＝写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。4、)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222xtxuxutlutualxxtxuattxu＝写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。4、真空中的电磁场满足麦克斯韦方程组，tEHHtHEE00利用公式AAA2推导电磁场的波动方程01222EtE5、静电场中有00ED其中ED0写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？6、静电场中有0ED其中ED0写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？7、利用分离变量将下列偏微分方程分成两个常微分方程①0,,2222yyxuxyxu，②0),(),(222xtxuattxu8、设弦的两端固定于0x及lx，弦的初始位移如图所示，初始速度为零，没有外力作用，假设弦振动时的位移是txu,，写出txu,满足的的定解问题。8、latlxtxu5cos5sin,，latlxtxu7cos7sin,是定解问题0)0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222txuxxutlutualxxtxuattxu＝的一个解，写出这个解的节点的位置，它的振动频率9、证明atxfatxftxu21,是一维波动方程的解。9、证明atxfatxtxucossin,是一维波动方程的解。10、将函数cossincos2BAu展开成如下形式的级数nbnaannnsincos21011、利用分离变量)(),,,(),,,(tTzyxVtzyxu，将三维波动方程0),,,,(),,,(2222tzyxuattzxu，分解成关于时间的微分方程和空间的偏微分方程。贝塞尔函数，勒让德多项式1、勒让德多项式xP6是什么方程的的解？2、贝塞尔函数xJ5是什么方程的解3、利用贝塞尔函数的递推公式)()(1xJxxJxdxdnnnn计算积分1012dxxJx。4、如果1)(0xP，xxP)(1，)13(21)(22xxP，)35(21)(33xxxP将21532xxxf按xPn展开。5、利用贝塞尔函数的递推公式)()(1xJxxJxdxdnnnn计算积分100dxxxJ。6、方程012)(2)()1(222ydxxdyxdxxydx的解是什么？7、方程042222yxdxdyxdxydx的解是什么达朗贝尔公式、格林函数、镜像法1、利用达朗贝尔公式解定解问题xtxuxxuaxxtxuattxu)0,(sin)0,()0,(,0),(),(222222、在0z的半空间中的有一个点电荷，置放在000,,zyxM，00z，假设0z的平面的电势为零，写出这个点电荷的像的位置。3、写出由上题的两个点电荷所产生的格林函数。4、达朗贝尔公式atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(是一维无界波动方程的解，如果初始速度为零，达朗贝尔公式应该是什么？5、在上式中第一项的物理意义是什么？第二项的物理意义是什么？6、达朗贝尔公式atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(是哪一个定解问题的解？（写出数理方程和定解条件）7、如果一个无限长的弦振动的定解问题是0)0,()0,()0,(,0),(),(222222txuxxuaxxtxuattxubx传播的速度是什么？