知识点梳理-简单几何体

简单几何体一.棱柱1.概念：2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)侧面是平行四边形；(3)侧棱互相平行.3.分类一：三棱柱、四棱柱、五棱柱……分类二：斜棱柱、直棱柱、正棱柱.斜棱柱直棱柱正四棱柱正六棱柱平行六面体直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.二.棱锥1.概念：2.结构特征：(1)有一个面是多边形(包括三角形)；(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形.3.分类：一般棱锥、正棱锥.棱锥正四棱锥正六棱锥正四面体正棱锥：底面为正多边形，公共顶点在底面的投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.正四面体：各面都是等边三角形的三棱锥叫做正四面体.三.棱台1.概念：2.结构特征：(1)侧棱的延长线相交于一点；(2)侧面是梯形；(3)两底面互相平行，两底面相似.四.圆柱1.概念：2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)任意两条母线都平行；(3)母线与底面垂直；(4)轴截面为矩形；(5)侧面展开图是矩形.五.圆锥1.概念：正四棱台四棱台2.结构特征：(1)所有母线相交于一点；(2)旋转轴与底面垂直；(3)轴截面为等腰三角形；(4)侧面展开图是扇形.六.圆台1.概念：2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)母线的延长线相交于一点；(3)轴截面为等腰梯形；(4)侧面展开图是扇环.七.球体1.概念：2.结构特征：(1)球面是曲面，不能展开成平面图形；(2)球面上任一点与球心的连线都是半径.大圆：经过球心的截面去截球面所得的圆称为大圆.小圆：不经过球心的截面去截球面所得的圆称为小圆.3.球的截面的性质：(1)球的截面是圆面；(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系是22rRd.4.两点间的球面距离：在球面上，两点之间的最短路线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面的距离.AOO'一、选择题1．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为()A．6B．4C．3B．22．如图8-22，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥.在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S1、S2、S3，则这个三棱锥的体积为()A．V=32321SSSB．V=32321SSSC．V=32321SSSD．V=6321SSS3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．必定都不是直角三角形B．至多有一个直角三角形C．至多有两个直角三角形D．可能都是直角三角形4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为()A．27B．56πC．14πD．64π5．把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为()A．31RB．333RC．5253RD．33R6．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则()A．S1S2S3B．S3S2S1C．S2S1S3D．S1S3S27．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为()A．26B．36C．46D．668．设地球半径为R，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为()A．33πRB．3πRC．πRD．2πR9．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()10．如图8-25，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q，且满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A．3∶1B．2∶1C．4∶1D．3∶111．如图8-26，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是()12．已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于()A．36B．66C．126D．186二、填空题13．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥.14．如图8-27，在三棱锥S—ABC中，E、F、G、H分别是棱SA、SB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分割为两个几何体AB—EFGH、SC—EFGH，其体积分别是V1、V2，则V1∶V2的值是.15．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各条棱长皆为2，则此三棱锥的体积为16．已知正四棱柱的体积为定值V，则它的表面积的最小值为.三、解答题17．正四棱台上、下底面边长分别为a和b,上、下底面积之和等于侧面积，求棱台体积.18．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积.19．如图8-29，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积.20．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图8-30)，设容器的高为h米，盖子边长为a米.(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值.(求解本题时，不计容器的厚度)【综合能力训练】1.C2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.A9.B10.B11.C12.B13.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……14.1∶115.61116.632V17.解：V=)(3baab(a2+ab+b2).18:解析：由三视图知正三棱柱的高为2cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为cm.设底面边长为a，则,∴a=4.∴正三棱柱的表面积S=S侧+2S底=3×4×2+2××4×=8(3+)(cm)答案：8(3+)(cm).19.解设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为6，另一边长为2·6=23，∴r2=(6)2+(3)2=9，∴r=3，故S半球=2πr2+πr2=27π，V半球=32πr3=18π，即半球的表面积为27π，体积为18π.注：本题是正方体内接于半球问题，它与正方体内接于球的问题是有本质差别的，请注意比较.20.解(1)设h′为正四棱锥的斜高，由已知得,'41,2'2142222hahaha解得a=112h(h0).(2)V=31ha2=)1(32hh(h0)，易得V=)1(31hh，因为h+h1≥2hh1=2，所以V≤61，等号当且仅当h=h1，即h=1时取得.故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为61立方米.奇偶性练习1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则()A．31a，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝03．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是()A．y＝x(x－2)B．y＝x(｜x｜－1)C．y＝｜x｜(x－2)D．y＝x(｜x｜－2)4．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于()A．－26B．－18C．－10D．105．函数1111)(22xxxxxf是()A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数6．若)(x，g(x)都是奇函数，2)()(xbgaxf在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有()A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－37．函数2122)(xxxf的奇偶性为________．8．若y＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，若11)()(xxgxf，则f(x)的解析式为_______．10．已知函数f(x)为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为_______．11．设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．12．已知函数f(x)满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)(xR，yR)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数．13．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋2x2—1，求f(x)在R上的表达式．14．f(x)是定义在(－∞，－5][5，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[5，＋∞)上单调递减，试判断f(x)在(－∞，－5]上的单调性，并用定义给予证明.15．设函数y＝f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，求证f(x)是偶函数．奇偶性练习参考答案1．解析：f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数，xx)(为奇函数，∴g(x)＝ax3＋bx2＋cx＝f(x)·)(x满足奇函数的条件．答案：A2．解析：由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．又定义域为[a－1，2a]，∴a－1＝2a，∴31a．答案：A．3．解析：由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)为奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x＝x(－x－2)．∴,,)0()0()2()2()(xxxxxxxf即f(x)＝x(|x|－2)答案：D4．解析：f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，f(－2)＋8＝18，∴f(2)＋8＝－18，∴f(2)＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f(－x)＋f(x)＝0．答案：B6．解析：)(x、g(x)为奇函数，∴)()(2)(xbgxaxf为奇函数．又f(x)在(0，＋∞)上有最大值5，∴f(x)－2有最大值3．∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，∴f(x)在(－∞，0)上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋2m(－x)＋3＝(m—1)x2＋2mx＋3，整理得m＝0．9．解析：由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，可得11)()(xxgxf，联立11)()(xxgxf，得11)1111(21)(2xxxxf．答案：11)(2xxf10．答案：011．答案：21m12．证明：令x＝y＝0，有f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0)，又f(0)≠0，∴可证f(0)＝1．令x＝0，∴f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)f(－y)＝f(y)，故f(x)为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f(x)＝x3＋2x2－1．因为f(x)为奇函数，∴f(0)＝0．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋2(－x)2－1＝－x3＋2x2－1，∴f(x)＝x3－2x2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323xxxxxxxxf点评：本题主要考查对奇函数概念的理解及应用能力．14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因为f(x)在[5，＋∞]上单调递减，所以f(－x1)＜f(－x2)f(x1)＜－f(x2)f(x1)＞f(x2)，即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性