浅淡“找次品问题”中多维目标的落实

浅淡“找次品问题”中多维目标的落实--------------------------------------------------------------------------------文/丁国忠来源：小学数学教师“找次品问题”是数学中一类经典的智力问题，吸引着众多数学爱好者孜孜不倦地寻求一般性的解决方法。“找次品问题”又细分为许多类型，有的类型解决起来相当复杂。人教版《数学》五年级下册的“数学广角”选择了比较简单的一类作为例题，即“n个从外表看完全相同的零件，已知其中一个是次品，次品比合格品重一些。现有一架标准天平，使用这架天平，最少用几次就一定能找出这个次品？”这里，“次品比合格品重一些”是已知的；若这一条件未知，解决起来的繁难程度将大大增加。对于这一问题，一般性的解决方法是把这n个零件尽可能平均分成3份，其中至少有2份的数量是同样多的（对于任何一个不小于3的自然数n，若n是3的倍数，如n=3m，则可分为m，m，m；若比3的倍数多1，如n=3m+1，则可分为m，m，m+1；若比3的倍数多2，如n=3m+2，则可分为m+1，m+1，m）。把数量同样多的2份放在天平两端进行称量，最多存在两种可能性：天平平衡或天平不平衡。如果是第一种情况，那么次品在天平外的那份中；如果是第二种情况，那么次品在下沉的一端。不管是哪种可能性，接下来都是把包含次品的那一份零件按照上述方法再尽可能平均分成3份，然后一步一步依次往下称量……具体到教材中的一个典型问题“9个零件中有一个次品（次品重一些），至少称几次就一定能找出这个次品”，用上述方法解决的过程如下。第一步，把9个零件平均分成3份，数量分别是3个，3个，3个（为叙述方便，下文中记为［3，3，3］，表示分成3份，每份都是3个）。第二步，在天平两端分别放上任意2份进行第一次称量（为叙述方便，下文中记为3┳3，表示天平两端各有3个零件），存在两种可能性：平衡或不平衡。1.若平衡，则次品在天平外的3个中，再把它们分成［1，1，1］，进行第二次称量1┳1。同样存在两种可能性：平衡或不平衡。（1）若平衡，则次品是天平外的那个。（2）若不平衡，则次品是下沉一端的那个。2.若不平衡，则次品在下沉一端的3个中，再把它们分成［1，1，1］，进行第二次称量1┳1。同样存在两种可能性：平衡或不平衡。（1）若平衡，则次品是天平外的那个。（2）若不平衡，则次品是下沉一端的那个。这样，不管每次称量的结果是哪种可能性，都只用2次称量就确保把次品找出来了。以上过程虽然叙述起来比较繁琐，但如果把结论直接告诉学生，并把零件总数改成18个，20个，……让学生举一反三，强化训练，相信掌握起来也非难事。但同时我们应该深入地思考一个问题：本节课的教学目标是什么？仅仅是让学生被动地接受一种被前人证明是最便捷的解法，然后通过反复操练，以解决所有同类问题吗？如果是这样的话，岂不又落入类似“应用题分类型、套公式”的教学误区了吗？事实上，任何一个解决数学问题的过程都是一次极富挑战、极具魅力的数学探究之旅。在这一过程中，数学知识的获得、数学技能的提高、数学思想的熏陶、数学活动经验的建立都在以潜移默化的方式悄悄地发生。而我们的数学教学，就应该经常地为学生创造主动探究的平台，激发学生学习数学的兴趣，全方位地提高学生的数学素养，而不是“培养”一批又一批的“做题机器”。“找次品问题”就为落实“基本的数学知识、基本的数学技能、基本的数学思想、基本的数学活动经验”这一多维目标提供了很好的载体。在解决这一问题的过程中，学生可以进一步理解什么是随机事件，理解和掌握基本的逻辑推理和化归的思想方法。与此同时，如何清晰地表达数学思维的过程，如何理解解决问题策略的多样化和优化，如何运用比较-猜想-验证的策略发现数学结论，如何把复杂问题转化为简单问题，如何把具体问题推广为一般问题，都是在解决这一问题的过程中需要考虑的。这些蕴含在解决问题过程之中的隐性的“形成性能力”，或许恰恰是在过去的数学教育中容易被忽视的。教师在日常教学中能否重视这些能力的培养，直接决定了学生综合能力的高低。并且，这些能力不局限于促进数学学习，它甚至可以延伸至其他学科，乃至未来学习、生活和工作的方方面面。在设计本节课之前，首先要对本节课涉及的数学知识、数学思想方法进行整理，这样才能在教学设计时有的放矢。