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§16.2矩形、菱形与正方形的性质厦门市莲花中学初二数学组薛祖仲一、课标要求1.理解矩形的概念及与平行四边形的关系。（1）理解矩形的概念；（2）理解矩形与平行四边形的关系；（3）理解矩形即使轴对称图形又是中心对称图形。2.探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等。（1）通过定理证明，能比较熟练运用将矩形问题转化为用三角形解决的方法；（2）结合图形，用符号语言表示矩形的性质定理。3.探索并证明直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（1）通过定理证明，能比较熟练运用将三角形问题转化为用矩形解决的方法；（2）结合图形，用符号语言表示直角三角形的性质定理。4.理解菱形的概念及与平行四边形的关系。（1）理解菱形的概念；（2）理解菱形与平行四边形的关系；（3）理解菱形即使轴对称图形又是中心对称图形。5.探索并证明菱形的性质定理：菱形的四边相等，对角线互相垂直。（1）通过定理证明，能比较熟练运用将菱形问题转化为用三角形解决的方法；（2）结合图形，用符号语言表示菱形的性质定理。（3）定理“菱形的每条对角线平分一组对角”可以作为计算、证明的依据。6.理解正方形的概念及与菱形、矩形的关系。（1）理解正方形的定义；（2）理解正方形与与菱形、矩形的关系；（3）理解正方形即使轴对称图形又是中心对称图形。7.探索并证明正方形的性质定理：正方形具有矩形和菱形的一切性质。（1）定理“正方形四个角都相等，四条边都相等”可以作为计算、证明的依据。（2）定理“正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。”可以作为计算、证明的依据。（3）通过定理证明，能运用将正方形的问题转化为用矩形、菱形、等腰直角三角形解决的方法；（4）结合图形，用符号语言表示正方形的性质定理。二、课时划分第1课时：矩形的概念及性质。第2课时：菱形的性质及应用。第3课时：正方形的性质及应用。第4课时：特殊的平行四边形。第1课时矩形的性质一、教学目标：知识与技能：探索并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经历探索矩形有关性质的过程，在直观操作活动中学会简单说理，发展初步的合情推理能力和主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法．情感态度与价值观：发展合情推理能力，体会矩形的实际应用价值．二、主要例题：引例：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状，如图所示．（1）木框随四个内角大小发生变动，但仍保持平行四边形形状。（为什么？）平行四边形的性质：①中心对称图形；②两组对边平行且相等；③对角相等；④对角线互相平分.（2）推动平行四边形活动木框上边的D点，在推动过程中，当一个内角变为直角时，木框形状为特殊的平行四边形，即为小学已学过的长方形，现称为矩形。（3）已知平行四边ABCD中∠BAD＝90°；探究矩形的性质：矩形是中心对称图形，它的对称中心是矩形是轴对称图形，有条对称轴,它的对称轴是矩形的对边且几何语言:证明：ABDCOABCDO矩形的四个角，每一个角都等于几何语言:证明：矩形的对角线且互相几何语言:证明：（2）探究矩形与等腰三角形、直角三角形的内在联系：例题：如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于O.(1)在图中找出相等的线段与相等的角；（2）若AB＝3,BC＝4；求BO长；(3)若△AOB、△BOC、△OCD和△AOD四个小三角形的周长之和为86cm，AC的长为13cm，试求矩形的周长。(4)若∠AOD＝120°，AO＝2cm，求矩形的周长（先让学生独立探索，再教师引导，生生、师生合作交流）三、主要练习：1.如图16.2.4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．2、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于O.若△AOB、△BOC、△OCD和△AOD四个小三角形的周长之和为86cm，矩形的周长为60cm，试求，AC的长。ABCDO3.如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3.6，试求AC与AD的长．(精确到0.1)4.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB吗?第2课时菱形的性质一、教学目标：知识与技能：探索并掌握菱形的有关性质．过程与方法：经历探索菱形的性质的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生主动探究意识和初步审美意识，进一步了解说理的基本方法．情感态度与价值观：发展合情推理能力，体会菱形的实际应用价值．二、主要例题：引例：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形(rhombus)．如图，菱形是一组邻边相等的平行四边形。（1）已知平行四边ABCD中∠BAD＝90°；探究菱形的性质：菱形是中心对称图形，它的对称中心是菱形是轴对称图形，有条对称轴,它的对称轴是菱形的对角，邻角菱形的四条边几何语言:证明：菱形的对角线互相,并且每一条对角线平分．几何语言:证明：（2）探究菱形与等腰三角形、直角三角形的内在联系：例：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，1)若AO＝8,BO＝6；试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长以及菱形的周长、面积。2)若AB＝10,AC＝8；试求这个菱形的另一条对角线BD的长以及菱形的周长、面积。3）若菱形ABCD的边长为10cm，∠BAD＝120°求证△ABC是等边三角形，并求出菱形的面积。三、主要练习：1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度．2.试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．3.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，求这个菱形的各个内角的度数．4拓展.如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数.第3课时正方形的性质一、教学目标：知识与技能：探索并掌握正方形性质，认识正方形的特殊性以及与矩形、菱形、平行四边形的联系和区别．过程与方法：经历探索正方形性质的过程，在实践中发展学生初步的合情推理能力以及主动探究思想．情感态度与价值观：培养学生主动思考，推理应用能力，体会正方形的实际应用价值．二、主要例题：引例：正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形，如图16.2.9，在正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角．所以正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．（1）正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系:（2）探究正方形的性质：对称性:边:角:对角线:例1：如图，在正方形ABCD中AB长2cm，1）求这个正方形的周长、对角线长和它的面积．2）求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数．例2：在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连结AE交CD于F，求∠E、∠AFC的度数。三、主要练习：1.已知正方形ABCD的对角线长2cm，求（1）这个正方形的周长、和它的面积（2）对角线交点到边的距离2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，求∠EBC的度数.FECBDAFE3拓展.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE、CE，求∠DEC的度数.第4课时正方形与平行四边形、菱形、矩形的性质复习正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系:EDABC例.根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四边都相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等1.如图，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角∠AOB＝60°．求这个矩形的周长．(精确到0.1cm)2.利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3.如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它的面积．4．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=5，求菱形的周长．5．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CD延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．6．如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且∠FBC=∠EBF，求证：BE=AE+CF．易错点：1.特殊的平行四边形性质较多，容易产生混淆。2.在解题中随意添加条件。3.由于矩形是特殊的平行四边形，因此矩形具备所有平行四边形的特征，这一点在解题时不可忽略，同时还要分清矩形与平行四边形的区别。4.同样的由于菱形是特殊的平行四边形，因此菱形具备所有平行四边形的特征，这一点在解题时不可忽略，同时还要分清菱形与平行四边形的区别。5.由于正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，因此它具有许多特殊的特征教学建议：1教学中要注意矩形概念的引入.教材中并没有给出矩形的一个严格的定义，而是通过揭示矩形和平行四边形的关系，说明矩形是一种特殊的平行四边形，和一般的平行四边形的不同在于它的内角是直角，让学生能够理解矩形是一种特殊的平行四边形.可以设计书中所介绍的教具，也可通过计算机设计动画来演示.2.矩形的特征和识别方法教材中处理得比较简单，通过矩形是特殊的平行四边形得出矩形也是中心对称图形，从而平行四边形所具有的特征，矩形都具有.矩形是轴对称图形的特征，教材中没有过多展开，在实际教学中可以让学生动手探索，自主得出结论.探索的方式可以让学生动手折叠，也可以设计动画演示等直观感知.3.矩形的四个内角是直角以及矩形的对角线相等且相互平分这两个特征的教学，建议通过简单说理得出.说理的依据是矩形是中心对称图形和轴对称图形，强化图形变换的思想.应该相信学生是能够理解和接受的.4.教材中菱形的引入采用叠纸张的方法，教学中也可采用其他方法引入.如像矩形的引入一样，通过平行四边形的变化而得出，与矩形不同的是边长的变化，而不是角度的变化.当平行四边形相邻两边长相等时，就变成菱形。这种方式有利于学生理解菱形是特殊的平行四边形.5.和矩形的处理一样，教材中没有给出菱形的严格定义.教学中要注意让学生理解菱形是一种特殊的四边形，特殊的平行四边形。6.菱形是特殊的平行四边形，在教学中要注重让学生观察、猜测、验证菱形既是轴对称图形又是中心对称图形的特征，并注意和矩形的特征相比较.7.教材中对菱形的对角线相互垂直平分这一特征是通过学生动手操作得到.教学中可以采用多种方法让学生说明.如让学生量一量或让学生利用中心对称图形和轴对称图形的特征来说明等.8.正方形的教学中要注意让学生搞清正方形和矩形、菱形的关系.可以设计菱形变化为正方形和矩形变化为正方形的模型，加深学生的印象.9.正方形的特征比较多，教材中安排了一个讨论，目的是想通过讨论，让学生理清正方形的特征。教学中可帮助学生进行梳理，让学生有一个明确的把握.