矩阵分析理论的基础知识

第1页共8页前言1、自我介绍2、矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的3、矩阵分析理论的组成：四部分：基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）矩阵特征值的估算（第五章）非负矩阵（第六章）第一部：矩阵分析理论的基础知识§1线性空间与度量空间一、线性空间：1．数域：Df1：若复数的一个非空集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P为一个数域eg1：Q（有理数），R（实数），C（复数），Z（整数），N（自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？2．线性空间—设P是一个数域，V是一个非空集合，若满足：1可加性—指在V上定义了一个二元运算（加法）即：V,经该运算总存在唯一的元素V与之对应，称为与的和，记并满足：①②)()(③零元素—＝有VtsV.④＝记的负元素为＝有对VV2数积：（数乘运算）—在P与V之间定义了另一种运算。即VPk,经该运算后所得结果，仍为V中一个唯一确定的元素。存在唯一确定的元素V与之对应，称为k与的乘积。记为k并满足：①1第2页共8页②Plk,)()(kllk③Plk,lklk)(④,kkk)(则称V为数域P上的线性空间（向量空间）记为)...(PV习惯上V中的元素—向量，—零向量，负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：0k)1()(eg2：}{阶矩阵是nmAAVP—实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R上的线性空间，记为：nmR同样，若V为n维向量，则可构成R上的n维向量空间nR—线性空间。eg3：],[baCVP＝R按照连接函数的运算，显然可建立R上的一个线性空间，记为).,.(],[RCba。根据线代中向量空间的维数与基的定义。我们可以定义线性空间的基与维数3．线性空间的基与维数Df3.设V是P上的线性空间Vxxxn,,,21若①nxxx,,21线性无关；②V中任一元素可由nxxx,,21线性表示则称V为n维线性空间的一组基，dimV=n，若nxxx,,21为V的一组基，则对V必有nnnnkkxxxkxkxk112211),,(则),,(1nkk称为在基nxxx,,21下的坐标，且坐标是唯一的。eg4.在线性空间nxP][中，1,,,1nxx是nxP][的一组基。第3页共8页eg5.nR中neee,,,21是nR的一组基，dimnR=n4.子空间—设V是P上的线性空间，VV1，若1V对.构成P上的线性空间则称1V与V的线性子空间，简称子空间。eg:nnxPxP][][1最小子空间}{—零子空间。dim{}=05.生成子空间—设Vrixi),,2,1(，),,,(r21xxxL构成线性空间V的子空间，称为由r21,,,xxx的生成子空间，其中},,1,{),,,(2211r21riPkxkxkxkxxxLirr思考：若r21,,,xxx线性无关，则rxxxL),,,(dimr21若r21,,,xxx线性相关，则的秩nxxxxxxL,,,),,,(dim21r216.和空间—设1V，2V是线性空间V的子空间，称},{2121VyVxyxVV为1V与2V的和空间，记为21VV结论：若1V，2V是线性空间V的子空间，则21VV亦是V的子空间。若),(21VyVxyxz分解唯一，则称21VV为1V与2V的和，记为21VV)(21VV结论：①21VV为直和}{21VV②若1V是2V的子空间，则存在唯一的子空间2V使21VVV7.维数公式(维数Th)(书上Th4)设V是P上的n维线性空间。1V，2V是V的子空间。则有)dim(dimdim)dim(212121VVVVVV推论：若}{21VV则2121dimdim)dim(VVVV即2121dimdim)dim(VVVV线性空间没有涉及到向量的长度，向量之间夹角等度量性质。为此引入内积概念，使这样的空间可以处理这些度量性质的问题。第4页共8页二.度量空间（内积空间，欧几里得空间）1.Df：设V是R上的线性空间V,恒有唯一的实数与之对应，记为),(且满足：①),(),(②)(),(),(Rkkk③),(),(),(④时，0),(等号成立。称),(为与的内积，V称为度量空间（内积空间，欧几里得空间）eg线性空间)...(],[RC],[,Cgfbadxxgxfgf)()().(易验证：满足①，②，③，④。故)...(],[RC是度量空间性质1),(),(kk性质2),(),(),(性质3),(),(性质4设V,则有),(),(),(2（见136ThP）2.长度—设为内积空间V的任一元素，称),(为的长度。记为，即),(3.夹角—),(cosarc称为与的夹角。0,0相应地有：与线代相同单位向量—0),(1性质2.V,—内积空间（见38P推论）56第5页共8页7若与正交，则222推广到有限个元素的情形三．线性空间的同构1.Df：设1V，2V是线性空间P上的两个线性空间，若1V与2V之间有一个一一对应，使得对1,Vyx及Pk有：①)()()(yxyx②)()(kk则称1V与2V同构，称为从1V到2V的同构映射，记为：21VV2.性质：①)()(;)(xx②miiimiiixkxk11)()(③若m21,,,xxx在1V无关，则)(),(1mxx在2V中无关反之亦成立，即在同构对应下，线性无关组对应线性无关组。④同构的有限维线性空间，其维数相同。此外，还具有自反性，对称性，传递性（线代中）反之，具有某些性质的线性空间能否同构呢？或者说，两个线性空间在什么条件下才能同构呢？下面定理解决了这个问题。Th:数域P上任意两个n维线性空间1V与2V是同构的（proof见18P）推论：数域P上两个有限维线性空间1V与2V同构21dimdimVV类似的，我们可以研究内积空间的同构（自己看45P§3）Df：内积空间1V与2V，若21VV（一一对应）使RkVyx,有：作为线性空间的同构)()()()()(xkkxyxyx内积保持不变—),())(),((yxyx这节课，就讲到此，下去看书ch1.§1-§4.ch2.§1-§3练习：习题一1.2习题二1.即作为线性空间1V与2V同构。在该同构关系下，向量内积保持不变。同构的两个欧氏空间具有相同的维数。第6页共8页Th：所有的n维欧氏空间都同构§3.线性变换线性变换与线性空间具有密切的联系，是矩阵论研究的主要对象之一。一、线性变换1.映射—在集合V与V之间存在一个对应法则使得对于V中的任一元素a,都有V中唯一的元素a与之对应，称此对应法则为到的一个映射，记aa)(2.变换—线性空间V到自身的映射，VV称为V的一个变换。3.线性变换—称线性空间V的一个变换A为线性变换；若对PkVyx,都有：①A(x+y)=A(x)+A(y)②A(kx)=kA(x)eg1.V是线性空间，定义VkkA为常数00)(，为常数。则A是V上的线性变换。证明：首先，可以看出A是V的一个变换其次，)()()()(000yAxAykxkyxkyxA)()()()(00xAkxkkkxkkxA对于该线性变换有：拉伸变换—Ak10压缩变换—Ak10恒等变换—Ak10eg2.设A，B是nnR的两个给定的矩阵，对nnRx，定义：BAxA)(则A是线性空间nnR的一个线性变换。eg3.)..].,[(1RbaR,)()())((bxadttfxfAxa则是],[1baR上的线性变换4.零变换与单位变换Df1：设V是线性空间,V有)(A。则称A为零变换”O”。Df2：设V是线性空间,V有)(A。则称A为单位变换”I”。二、线性变换的性质：1.)(A；)()(xAxA；线性空间—Vx第7页共8页即：)(0)0()(xAxAA)()()1(])1[()(xAxAxAxA2.设niiixky1。则niiixAkyA1)()(即：线性变换A保持向量的线性组合与线性关系式。3.线性变换把线性相关的向量组变换线性相关的向量组注：线性变换并不能把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。niniiiiixkAxk11)(三、线性变换的运算及运算规律1.线性变换的运算：设1A，2A是线性空间V的任意两个变换。1和变换：对Vx，称)()()(21xAxAxA为1A与2A的和变换。记为：A仍为V的线性变换。2积变换：对Vx，称))(()(21xAAxA为1A与2A的积变换。记为：21AAA))()(())(())((2212121yAxAAyxAAyxAA))(())(())(1())((21212121yAAxAAyAAxAA))(())(())(())((21212121xAAkxAkAkxAAkxAA3数乘运算：PkVx称))(()(1xAkxA为k与1A的数量乘积，记为1AkA))1(1(11负变换—时，AAk易证，1Ak也是V的线性变换。2.运算规律：VAAA321,,1结合律：（对加、乘法）)(1)(321321AAAAAA)()(321321AAAAAA2交换律：1221AAAA3分配律：3121321)(AAAAAAA3131321)(AAAAAAA第8页共8页4A1+0=A1A1+(-A1)=05数乘满足：)()(AkAkAA1AkAAk)(2121)(AkAkAAk注：L(v)—由V的全体线性变换组成的非空集合，仍P为上的线性空间.