矩阵特征与特征向量的计算

第三章矩阵特征与特征向量的计算3.1引言在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。设A为n阶方阵，nnijRaA)(，若)0(xRxn，有数使Ax=x（5.1）则称为A的特征值，x为相应于的特征向量。因此，特征问题的求解包括两方面：1．求特征值，满足0)det()(IA（5.2）2．求特征向量)0(xRxn，满足齐方程组0)(xIA（5.3）称（）为A的特征多项式，它是关于的n次代数方程。关于矩阵的特征值，有下列代数理论，定义1设矩阵A,BRnn，若有可逆阵P，使APPB1则称A与B相似。定理1若矩阵A,BRnn且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。定理2设ARnn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵，即有可逆阵P，使nDAPP211其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。定理3ARnn，1,…,n为A的特征值，则（1）A的迹数等于特征值之积，即niiniiiaAtr11)(（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即nA21)det(定理4设ARnn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则（1）对任ARn，x≠0，1),(),(xxxAxn（2）),(),(min0xxxAxxn（3）),(),(max01xxxAxx定理5（Gerschgorin圆盘定理）设ARnn，则（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，niaaznijjijii,,2,1,1（5.4）（5.4）式表示以aii为中心，以半径为nijjija1的复平面上的n个圆盘。（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余n–m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。例1设有411101014A估计A的特征值的范围。解由圆盘定理，A的3个圆盘为图5.1D1:14zD2:20zD3:24z见图5.1。D2为弧立圆盘且包含A的一个实特征值1（因为虚根成对出现的原理），则3≤1≤5。而2，3D1∪D2，则6max)(iA，即6)(3A3.2乘幂法与反幂法在实际工程应用中，如大型结构的振动系统中，往往要计算振动系统的最低频率（或前几个最低频率）及相应的振型，相应的数学问题便为求解矩阵的按模最大或前几个按模最大特征值及相应的特征向量问题，或称为求主特征值问题。3.2.1乘幂法乘幂法是用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法，其特点是公式简单，易于上机实现。乘幂法的计算公式为：设ARnn，取初始向量x(0)Rn，令x(1)=Ax(0)，x(2)=Ax(1)，…，一般有)1()(kkAxx（5.5）形成迭代向量序列{x(k)}。由递推公式（5.5），有)0()1(2)2()()(xAxAAxAxkkkk（5.6）这表明x(k)是用A的k次幂左乘x(0)得到的，因此称此方法为乘幂法，（5.5）或（5.6）式称为乘幂公式，{x(k)}称为迭代序列。下面分析乘幂过程，即讨论当k→∞时，{x(k)}与矩阵A的主特征值及相应特征向量的关系。设A=(aij)nn有完全的特征向量系，且1,2,…,n为A的n个特征值，满足n21v1,v2,…,vn为相应的特征向量且线性无关，从而构成Rn上的一组基底。对任取初始向量x(0)Rn，可由这组基底展开表示为njjjnnvvvvx12211)0(（5.7）其中1,2,…,n为展开系数。将x(0)的展开式（5.7）代入乘幂公式（5.6）中，得)(11)(jknjjjnjjkkvAvAx（5.8）利用jkjjkvvA（5.8）式为jkjnjjkvx1)(（5.9）（1）如果A有唯一的主特征值，即21，设10，且由（5.9）式，有kkjkjnjjkkvvvx11112111)(其中jkijnjjkv2，由于njj,,3,2,11，故当k充分大时，k0，此时111)(vxkk（5.10）对i=1,2,…,n，若(1v1)i0，考虑相邻迭代向量的对应分量比值，111111)1(1)()1()()(ikikkikivvxx（5.11）即对i=1,…,n1)()1(limkikikxx（5.12）这表明主特征值1可由（5.11）或（5.12）式得到。由于迭代序列x(k)，当k充分大时，（5.10）式成立，x(k)与v1只相差一个常数因子，故可取x(k)作为相应于主特征值1的特征向量的近似值。迭代序列x(k)的收敛速度取决于12的大小。（2）如果A的主特征值不唯一，且321可分三种情况讨论：a）1=2；b）1=-2；c）21情况a）当1=2时，A的主特征值为二重根，根据（5.9）式)(221111322111)(kkjkjnjjkkvvvvvx当k充分小时，由于11j，j=3,…,n，k0，则)(22111)(vvxkk对i=1,2,…,n，如果0)(2211ivv，则1)()1(limkikikxx（主特征值）且x(k)收敛到相应于1(=2)的特征向量的近似值。这种重主特征值的情况，可推广到A的r重主特征值的情况，即当r21且11r时，上述讨论的结论仍然成立。情况b）当1=-2时，A的主特征值为相反数，（5.9）式为))1(()1()1(22111132211132121113222111)(kkkjkjnjjkknjjkjjkkknjjkjjkkkvvvvvvvvvvvx当k充分大时，11j，j=3,4,…,n,k0，则))1((22111)(vvxkkk（5.13）由于（5.13）式中出现因子(-1)k，则当k变化时，x(k)出现振荡、摆动现象，不收敛，利用(-1)k的特点，连续迭代两步，得))1(())1((2211)2(122211)2(1)1(vvvvxkkkkk从而，对i=1,2,…,n，若0))1((2211ikvv，则21)()2(limkikikxx（5.14）开方之后，便得到A的以上主特征值1,2=-1。为计算相应于1,2的特征向量，采取组合方式，1111)1(1)(1)1(2vCvxxkkkk（5.15）2222)1(11)(1)1(2)1(vCvxxkkkkk（5.16）可见2211,vCvCkk分别为相应于1与2的特征向量。情况c）当21时，A的主特征值为共轭复根。因A为实矩阵，AA，于是由111vAv有1211vvAAv即21vv（v1与v2为互为共轭向量）。设ie1，ie2，对任取x(0)Rn，展开式（5.7）可为njjjvvvx31111)0(（5.17）将（5.17）式代入（5.9）式，jkjnjjkikkiikkjkjnjjkkkvvevevvvx32113121111)(同理，当k充分大时)(1111)(ikikkkevevx（5.18）对j=1,2,…,n，设复数表示ijjijjerverv)(,)(1111则（5.18）式的复数表示可为)()()()(kijkijkkjererx连续迭代，得))2(cos(2))1(cos(2)cos(22)2(1)1()(krxkrxkrxjkkjjkkjjkkj（5.19）利用三角函数运算性质及1、2的复数表示，不难验证。0)(21)1(21)2(kjkjkjxxx令2121,)(qp（5.20）解方程（j=1,2,…,n）0)()1()2(kjkjkjqxpxx（5.21）求出p,q后，再解出主特征值1、2，得22212222pqippqip（5.22）同样，采取组合方式求相应于1、2的特征向量。由于1111211)(2)1()(vCvxxkkkk（5.23）2222122)(1)1()(vCvxxkkkk（5.24）则可分别取（5.23）、(5.24）左端的组合表达式作为相应于1、2的特征向量的近似值。通过上述分析，有定理6设ARnn有完全特征向量系，若1,2,…,n为A的n个特征值且满足n21对任取初始向量x(0)Rn，对乘幂公式)()1(kkAxx确定的迭代序列{xk}，有下述结论：（1）当21时，对i=1,2,…,n1)()1(limkikikxx收敛速度取决于112r的程度，r1收敛快，r1收敛慢，且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。（2）当321时a）若1=2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；b）若1=-2，对i=1,2,…,n21)()1(limkikikxx收敛速度取决于113r的程度。向量)(2)1(kkxx、)(1)1(kkxx分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。c）若21，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，然后对j=1,2,…,n解方程0)()1()2(kjkjkjqxpxx求出p、q后，由公式2122pqip2222pqip解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于113r的程度。向量)(2)1(kkxx、)(1)1(kkxx分别为相应于1，2的特征向量的近似值。从分析乘幂过程可见，乘幂法可用于求矩阵按模最大的一个（或几个）特征值及相应的特征向量，当比值112r时，收敛速度快，r1时，收敛速度慢，且计算公式简便，便于上机实现。分析中的假设0)(11iv、0)(2211ivv、…，在计算时可不用考虑，如果此条件不满足，则可通过迭代误差自行调整。在用乘幂法求矩阵的主特征值1及对应的特征向量时，迭代向量的分量)(kix可能会出现绝对值非常大的现象，从而造成计算中溢出的可能。为此，需对迭代向量x(k)进行规范化。令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使iniixx1max0则max(x)=xi对任取初始向量x(0)，记)max()0()0()0(xxy则)0()1(Ayx一般地，若已知x(k)，称公式),1,0()max()()1()()()(kAyxxxykkkkk（5.25）为规范化的乘幂法公式或改进乘幂法公式，这里，乘幂迭代序列y(k)的分量绝对值最大者1。类似前面的分析乘幂过程，有定理7设ARnn具有完全特征向量系，1,2,…,n