矩阵理论第一二章典型例题

《矩阵理论》第一二章典型例题一、判断题1．An为阶实对称矩阵，nRx对中的列向量，T||x||xAx定义,||x||x则为向量的范数.()2．设An为阶Hermite矩阵，12,,,n是矩阵A的特征值，则2221||||nmiiA.()3.如果mnAC，且0A，()HAAAA,则2||||AAn.()4.若设nxR，则212||||||||||||xxnx.()5.设mnAR的奇异值为12n，则2221||||niiA.()6.设nnAC，且有某种算子范数||||，使得||||1A，则11||()||1||||EAA,其中E为n阶单位矩阵.()7.设2HAEuu(其中，E为n阶单位矩阵，2||||1nuCu且)，则2||||mAn()8.设nnAC为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||rAA.()9.设nnCA可逆，nnCB，若对算子范数有1||||||||1AB，则BA可逆.()10.设A为mn矩阵，P为m阶酉矩阵,则PA与A有相同的奇异值.()11.设nnAC，且A的所有列和都相等，则()rAA.()12.如果12(,,,)TnnxxxxC，则1||||miniinxx是向量范数.()13.设,nnAC则矩阵范数mA与向量的1-范数相容.()14、设nnAC是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1IA,其中I为单位矩阵.()二、设mnAC，,||||max||ijijAmna，证明:(1)||||A为矩阵范数;(2)||||A为与向量2-范数相容.三、试证：如果A为n阶正规矩阵，且Axx和Ayy，其中，，那么x与y正交.四、(1)设(1)nnACn为严格对角占优矩阵，1122(,,,)nnDdiagaaa，其中(1,2,,)iiain为A的对角元，E为n阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||使得1()1rEDA.(2)设nnAC,为任意给定的正数，()rA为矩阵的谱半径。证明：至少存在一个矩阵范数||||A使得||||().ArA五．设矩阵U是酉矩阵,12diag(,,,)nAaaa,证明:UA的所有特征值满足不等式{||}||{||}maxminiiiiaa.六.设||||a是nnC上的相容的矩阵范数,矩阵,BC都是n阶可逆矩阵,且1||||aB及1||||aC都小于或等于1,证明:对任意矩阵nnAC||||||||baABAC定义了nnC上的一个相容的矩阵范数.七．设A是可逆矩阵,是A的一个特征值,对于任意的算子范数||||,证明11||||||A.八.设A是Hermite矩阵()HAA，且A的特征值12n，证明矩阵A的Rayleigh商恒等于1.九．已知nnC中的两种矩阵算子范数||||a与||||b,对于任意矩阵nnAC,验证||||||||||||abAAA是nnC中的相容矩阵范数.十．设矩阵mnrAC的非零奇异值为12,,,r(0r),求证1221||||().rFiiA十一.设矩阵nnAC可逆,矩阵范数||||是nC上的向量范数||||v诱导出的算子范数,令()LxAx,证明:||||11||||1max||()||||||||||min||()||vvvxvyLxAALy.证明:根据算子范数的定义,有||||1max||()||||||xLxA,11100||||1||||10||||||||111||||maxmax||||||||||||min||||min||()||min||||yAxxyyyyAxyAAyxAyAyLyy,结论成立.十二.设矩阵nnAC为单纯矩阵,证明:A的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵nnHC,使得HA为Hermite矩阵.十三.(1)设矩阵()ijnnAa,则,||||max||aijijAna是矩阵范数.(2)设,,,nxypqC,矩阵HHAxpyq,xy,pq其中，求2||||mA.