矩阵理论试卷(整理版)

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷1、在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空间和列空间.2、在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是左零空间。3、利用QR分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。4、通过矩阵svd分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。5、将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式1010100016、当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b有无穷多解。7、所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是10000100001000018、通过施密特正交化可以获得矩阵的QR分解。9、在选定一个基后，任何维数为n的欧式空间与nR同构。10如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m行，n列，则输入空间的维数是n。二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R）2、两个子空间的并集是一个子空间。（F）3、在线性方程组Ax=b，当矩阵A式列满秩的时候，无论向量b是什么，方程组都有解。（F）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F）7、任何N×N的实矩阵都可以对角化。（F）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F）9、任何M×N实矩阵都有奇异值分解。（R）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵A为A=42421、求矩阵A的四个基本子空间的基和维数初等变换0042dimR（A）=dimR（TA）=1dimN（A）=dimN（TA）=1R(A)的基22R(TA)的基42N(A)的基12N(TA)的基112、画出矩阵A的四个基本子空间的示意图。自己画很好弄3、写出投影到矩阵A的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[01]T在列空间上的投影矩阵。IP=A(TAA)1TA因为(TAA)1不存在不能用这种方法求解求出列空间的基B=11得IP=B(TBB)1TB=21111投影矩阵IP*b=2114、写出投影到矩阵A的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=[01]在左零空间上的投影向量。N(TA)R(A)=IR3N(TA)=R(A)所以3IR)()(TANARIPIP所以)()(ARANIPIIPT=1221投影矩阵)(TANIP*b=12四、（矩阵奇异值分解的伪逆）设矩阵A为A=11221、求矩阵A的奇异值分解。ATA=11221212=5335=V222100VT所以821222归一化为特征向量2121和2121u1=01212111228111Av同理的u2=10从而A的svd分解是A=10012008212121212、通过奇异值分解计算矩阵的M-P伪逆。A=VTU=212121212100811001=212141五、（基变换和坐标变换）在线性空间V=P3(x)中，有三个向量f1（x）=-3+2x-x2f2（x）=-x+2x2f3(x)=-1+2x-x21、证明B={f1（x），f2（x），f3（x）}构成V=P3（x）的一个基。设1kf1+k2f2+k3f3=解方程得矩阵满秩所以k1=k2=k3=0所以是基2、设V=P3（x）中有标准基S={1，x，x2}，写出由标准基S到基B的过渡矩阵。（-3+2x-x2-x+2x2_1+2x-x2）=(1xx2)121212103Q=121212103计算出向量f（x）=3+12x+7x2在基S下的坐标向量。71233、根据前述结果，利用坐标变换，计算出向量f（x）=3+12x+7x2在基B下的坐标向量。B=Q17123=21121323106131217123=17326320