矩阵论试题

一、设线性空间2R按照某种内积运算构成欧氏空间，记为2V,已知2V的两个基为121211,11,02,612,TTTT①②且i与j的内积为111221221,15,1,3（1）求基①的度量矩阵A；（2）求基②的度量矩阵B；（3）求2V的标准正交基。一、设T是n维线性空间V上的线性变换，V，且满足10,0nnTT（1）证明：1,,,nTT是V的一组基；（2）求T在基1,,,nTT下的矩阵。（3）证明：T不是可逆变换。二、分别计算向量112,3234ixyi的1—范数、2—范数和无穷范数。二、计算矩阵2234A的1—范数、2—范数、无穷范数和Frobenius范数。三、设311121210A，求sinA.三、设2864106484A，求te.四、设201120A，求A的奇异值分解。四、求矩阵101011000A和110001B的奇异值分解。五、求矩阵101102221453A的MP逆A。六、证明：设nnAF，则方阵A的特征多项式就是A的化零多项式，即若1110,nnnfIAaaa则有0fA.六、证明：0是矩阵A的特征值0是A的最小多项式Am的零点。七、求矩阵311202113A的Jordan标准形及所需的变换矩阵P。七、求下列矩阵的Jordan标准形AJ和矩阵P，使1APAPJ.(1)110430102A(2)2615115126A八、设实线性空间V中的两个线性变换1T和2T满足1221TTTT，给定0R，证明：1．集合10|,WxTxxxV是V的子空间.2.W是2T的不变子空间.八、设A为mn矩阵,B为nk矩阵,RA和RAB分别表示A和AB的值域，证明：RABRA的充要条件是,存在kn矩阵C使得ABCA.