石家庄学院计算机系2011届期中考试线性代数

石家庄学院计算机系2011届期中考试《线性代数》第一部分选择题(共30分)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式aaaa11122122=m，aaaa13112321=n，则行列式aaaaaa111213212223等于（）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.13000120001B.10001200013C.13000100012D.120001300013.设矩阵A=312101214，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.|A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.根据秩的定义，下列说法不正确的是（）A.设A是一个m×n型的矩阵，P、Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(A)B.设A、B为n阶方阵，则r(AB)=r(BA)C.若A的所有r阶子式都为零，则A的所有r+1阶子式都为零D.凡是秩相等的同阶矩阵一定是等价的矩阵9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下面的向量组中仍然线性无关的是（）A.α1+α2，α2+α3α3+α4，α4+α1B.α1–α2α2–α3α3-α4，，α4-α1C.α1+α2，α2+α3α3+α4，α4-α1D.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3α4+α1第二部分非选择题（共70分）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11.36259653111.12.设A=111111，B=112234.则A+2B=.13.设A=(aij)3*3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.14.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.15.设矩阵A、B的秩分别为r(A)=3，r(B)=4，则矩阵r(AB)的极值为.16.A为3阶矩阵，且有|A|=3，则|3A|=.|A*|=.17.设A为n阶方阵，（n=2），A不是零矩阵，则存在非零矩阵B使得AB=0的充要条件.18.设矩阵A=81023316100，则A的逆矩阵为.三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）19.设A=120340121，B=223410.求（1）ABT；（2）|4A|.20.试计算行列式3112513420111533.21.设矩阵A=423110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.22.给定向量组α1=2103，α2=1324，α3=3021，α4=0149.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合公式。23.设矩阵A=12102242662102333334.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。四、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）24.设方阵A满足A3=0，试证明I-A可逆，且（I-A）-1=I+A+A2.25.设A、B为n阶方阵，若AB=A+B,证明A-I可逆且AB=BA答案：一、单项(本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.B9.A10.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）11.612.33713713.414.–1015.416.81917.A不可逆18.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）19.解（1）ABT=014322121043021=861810310.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=1203401212.所以|4A|=64·（-2）=-12820.解311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.21.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=2231101211431531641.所以B=(A-2E)-1A=143153164423110123=3862962129.22.解一213013010224341905321301011201311210350112008800141410350112001100001002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即230312243491231223123xxxxxxxxxx.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合公式α4=2α1+α2+α3..23.解对矩阵A施行初等行变换A1210200062032820963212102032830006200021712102032830003100000=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）（也可取T=25521515130532355451523////////.）四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）24.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.25.证由于AB=A+B，所以AB-A-B+I=I，即（A-I）（B-I）=I。根据可逆矩阵的判定条件，知A-I可逆；由可逆矩阵的性质，知道（B-I）（A-I）=（A-I）（B-I）=I。又有（B-I）（A-I）=BA-BI-AI+I=I，故有BA=B+A。因此可证BA=AB