共线向量与平面向量基本定理

§5-2共线向量与平面向量基本定理2018年1月1日1.实数与向量的积设#a是一个非零向量，则2#a表示与#a方向相同且长度为#a的2倍的向量，12#a表示与#a方向相同且长度为#a的12的向量.类似地，3#a表示与#a方向相反且长度为#a的3倍的向量，23#a表示与#a方向相反且长度为#a的23倍的向量（如图5-2-1）.一般地，实数与向量#a的积是一个向量，记作#a，它的长度与方向规定如下：（1）#a=#a；（2）当0时，#a的方向与#a的方向相同；当0时，#a的方向与#a的方向相反；当=0时，#a=#0.#a2#a12#a3#a23#a图5-2-12.运算律（1）对数因子的交换律：#a=#a；（2）对数因子的结合律：(#a)=()#a；（3）向量对数因子的分配律：(+)#a=#a+#a；（4）数因子对向量的分配律：(#a+#b)=#a+#b.3.共线定理定理向量#b与非零向量#a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得#b=#a.4.平面向量基本定理物理中的力既有大小，又有方向，因此力是向量.我们知道，力可以进行合成和分解.一个力可以分解为两个不共线的力.一般地，一个向量也可以分解为两个不共线的向量的和（如图5-2-2）.1ONBMAC#a#e1#a#e2图5-2-2平面向量基本定理如果#e1、#e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量#a，有且只有一对实数1、2，使#a1#e1+2#e2.【例1】如图5-2-3，ABCD的两条对角线交于点M，且#AB=#a，#AD=#b，用#a、#b表示#MA、#MB、#MC和#MD.ABDC#a#bM图5-2-3变式1如图5-2-4，，ABCD的两条对角线交于点M，且#MA=#a，#MB=#b，用#a、#b表示#AB、#AC、#AD.ABDCM#a#b图5-2-4第2页共5页【例2】如图5-2-5，#OA、#OB不共线，#AP=t#AB(t2R)，用#OA、#OB表示#OP.OAPB图5-2-5变式2（1）（2015课标I理7）设D为△ABC所在平面内一点，#BC=3#CD，则（）（A）#AD=13#AB+43#AC（B）#AD=13#AB43#AC（C）#AD=43#AB+13#AC（D）#AD=43#AB13#AC（2）（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，#AB+#AD=#AO，则=.（3）（2013江苏10）设D，E分别是△ABC的边AB，BC，上的点AD=12AB，BE=23BC..若#DE=1#AB+2#AC（1，2为实数），则1+2的值为.第3页共5页【例3】（2014全国新课标I文6）设D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则#EB+#FC=（）（A）#BC（B）12#AD（C）#AD（D）12#BC变式3（2010湖北理5）已知△ABC和点M满足#MA+#MB+#MC=#0.若存在实数m使得#AB+#AC=m#AM成立，则m=（）（A）5（B）4（C）3（D）2【例4】P为△ABC内一点，且满足#PA+2#PB+3#PC=#0，则△ABC的面积与△APC面积之比是（）（A）2:1（B）3:1（C）4:1（D）5:2变式4已知O为△ABC内一点，若#OA+#OC=3#OB，则△AOB与△AOC的面积的比值为（）（A）13（B）23（C）1（D）43第4页共5页天【例5】△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC的三等分点（靠近点A），BF交CE于点G，若#AG=x#AE+y#AF，则x+y等于（）（A）25（B）35（C）45（D）75BCAEF图5-2-5变式5（1）（2008广东理8）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若#AC=#a，#BD=#b，则#AF=（）（A）14#a+12#b（B）23#a+13#b（C）12#a+14#b（D）13#a+23#b（2）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线，AC于不同两点M，N.若#AB=m#AM，#AC=n#AN，则m+n的值为.BCAOMN图5-2-5（3）如图5-2-6在△ABC中，点M为AB的中点，且#AN=12#NC，BN与CM相交于点E，设#AB=#a，#AC=#b，则#AE=（用#a、#b表示）.ABCNME图5-2-6第5页共5页